Производна: Разлика между версии

Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Ред 50:
Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ù в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос.
 
 
 
== Геометрический и физический смысл производной ==
 
=== Тангенс угла наклона касательной прямой ===
[[Изображение:Derivative.gif|thumb|200px|right|Геометрический смысл производной. На [[График функции|графике функции]] выбирается [[абсцисса]] ''x<sub>0</sub>'' и вычисляется соответствующая [[ордината]] ''f(x<sub>0</sub>)''. В окрестности точки ''x<sub>0</sub>'' выбирается произвольная точка ''x''. Через соответствующие точки на графике функции F проводится [[секущая]] (первая светло серая линия C). Расстояние ''&Delta;x = x — x<sub>0</sub>'' устремляется к нулю, в результате секущая переходит в [[Касательная|касательную]] (постепенно темнеющие линии C). [[Тангенс]] угла &alpha; наклона этой касательной — и есть производная в точке ''x<sub>0</sub>''.]]
{{main|Касательная прямая}}
 
Если функция <math>f:U(x_0) \to \R</math> имеет конечную производную в точке <math>x_0,</math> то в окрестности <math>U(x_0)</math> её можно приблизить [[Линейная функция|линейной функцией]]
: <math>f_l(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0).</math>
Функция <math>f_l</math> называется касательной к <math>f</math> в точке <math>x_0.</math> Число <math>f'(x_0)</math> является угловым коэффициентом или [[Тангенс|тангенсом]] [[Угол|угла]] [[Наклон|наклона]] касательной прямой.
 
=== Скорость изменения функции ===
 
Пусть <math>s=s(t)</math> — закон прямолинейного [[Механическое движение|движения]]. Тогда <math>v(t_0)=s'(t_0)</math> выражает [[Мгновенная скорость|мгновенную скорость]] движения в момент времени <math>t_0.</math> Вторая производная <math>a(t_0) = s''(t_0)</math> выражает [[мгновенное ускорение]] в момент времени <math>t_0.</math>
 
Вообще производная функции <math>y=f(x)</math> в точке <math>x_0</math> выражает скорость изменения функции в точке <math>x_0</math>, то есть скорость протекания [[Процесс|процесса]], описанного зависимостью <math>y=f(x).</math>
 
== Производни от по-висок ред ==