Разлика между версии на „Формула на Ойлер“

редакция без резюме
м (Mixed words repair)
No edit summary
Графика, показваща взаимовръзката между <math>\sin \varphi</math>, <math>\cos \varphi</math> и комплексната експоненциална функция.
Ако искаме да обясним формилата на Ойлер с най-прости думи, това е равносилно на ротация на единичен вектор на ъгъл <math>\varphi</math>.
 
==Извод==
 
Уравнението на Ойлер може да бъде изведено по много начини, но един от най-елегантните изводи прибягва до помощта на комплексен интеграл.
Нека z е [[комплексно число]] в тригонометричен вид
 
:<math>z \equiv \cos \varphi + i\sin \varphi \!</math>.
 
След диференциране и преобразуване, получаваме
 
:<math>d z = d (\cos \varphi + i\sin \varphi \!)</math>
:<math>d z = (-\sin \varphi + i\cos \varphi \!) d\varphi </math>
:<math>d z = i(i\sin \varphi + \cos \varphi \!) d\varphi </math>
:<math>d z = i(\cos \varphi + i\sin \varphi \!) d\varphi </math>
:<math>d z = izd\varphi </math>
:<math> \frac{ d z }{z} = id\varphi </math>
:<math> \int \frac{ d z }{z} = \int id\varphi </math>
:<math> \ln z = i\varphi </math>
:<math> z = e^{i\varphi} </math>
и оттук
:<math> e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!</math>.
 
==Тъждество на Ойлер==
 
В частния случай, когато
 
: <math>\varphi = \pi \!</math>
 
получаваме
 
: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!</math>
 
Доколкото
 
:<math>\cos \pi = -1 \, \! </math>
 
и
 
:<math>\sin \pi = 0,\,\!</math>
 
следва
 
: <math>e^{i \pi} = -1,\,\!</math>
 
а оттук и
 
: <math>e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math>,
 
което е и прочутото тъждество на Ойлер.
По същия начин, когато аргументът е равен на <math> \frac{\pi}{2},</math> получаваме
 
 
: <math>e^\frac{i \pi}{2} = i, \!</math>
друга многозначителна математическа зависимост, свързана с [[имагинерна единица|имагинерната единица]].
 
[[Категория:Тригонометрия]]