Отваря главното меню

Промени

редакция без резюме
Пространствата на Хилберт се използват широко в математиката и физиката. Те са изключително важен инструмент в теорията на частните диференциални уравнения, квантовата механика и обработката на сигнали. Благодарение на тази теория бяха достигнати много успехи в областта на функционалния анализ.
Геометрическата интуиция играе важна роля в много от насоките на Хилбертовото пространство. Елемент от Хилбертово пространство може да бъде еднозначно зададен посредством координатите спрямо ортонормална координатна система, по аналогия с картезианските координати в равнината. Когато базовата координатна система е безкрайна, това означава че Хилбертовото пространство е безкрайна последователност от квадратни суми. Линейните оператори в Хилбертово пространство са съвсем конкретни обекти. В най-добрите случаи те са трансформации, които разширяват пространството с даден фактор във взаимно перпендикулярни посоки.
 
 
 
== Дефиниция и примери ==
 
Пространство на Хилберт е реално или комплексно произведение, което е пълно съгласно нормите дефинирани от произведението <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> на
 
<math> \|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}</math> .
 
 
 
== Събиране ==
 
Две Хилбертови пространства H1 и H2 могат да бъдат комбинирани в едно общо Хилбертово пространство, наричано директна ортогонална сума и обозначавано като:
 
 
<math>H_1\oplus H_2</math>,
 
състоящо се от множеството от всички подредени двойки (x1, x2) където xi ∈ Hi, i = 1,2, и модул
 
 
<math>\langle (x_1,x_2), (y_1,y_2)\rangle_{H_1\oplus H_2} = \langle x_1,y_1\rangle_{H_1} + \langle x_2,y_2\rangle_{H_2}</math>.
 
 
Най-общо ако Hi е фамилия от Хилбертови пространства индексирани по i ∈ I, тогава директната сума от Hi се означава като:
 
<math>\bigoplus_{i\in I}H_i</math>
 
състояща се от множеството от всички индексирани фамилии
 
<math>x=(x_i\in H_i|i\in I) \in \prod_{i\in I}H_i</math>
 
от картезиански произведения от Hi, такива че
 
 
<math>\sum_{i\in I} \|x_i\|^2 < \infty</math>.
 
Модул се нарича
 
<math>\langle x, y\rangle = \sum_{i\in I} \langle x_i, y_i\rangle_{H_i}</math>.
 
Всяко от пространствата Hi е включено като затворено подпространство в директните суми на всички Hi.
 
Нещо повече пространствата Hi са взаимно ортогонални.
 
 
16

редакции