Теорема на Болцано-Вайерщрас (за безкрайните редици): Разлика между версии

Тогава обединението <math>\Omega = \cup U_x </math> е покритие на интервала <math>\left[ a;b \right]</math>. От теоремата на Хайне - Борел следва, че <math>\Omega</math> има крайно подпокритие <math>\Omega ^ \prime</math>, състоящо се от краен брой интервали, всеки от които съдържа само краен брой членове на <math>r</math>. Но <math>r</math> има безбройно много членове в интервала <math>\left[ a;b \right]</math>, което е противоречие и следователно <math>r</math> има точка на сгъстяване. С това теоремата е доказана.