Нормално разпределение: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
мРедакция без резюме |
Редакция без резюме |
||
Ред 14:
Нормалното разпределение е често използвано за опис поне приблизително, на всяка [[променлива]] която клони към групиране около средна стойност. На пример, височините на възрастните мъже в Съединените Щати са приблизително нормално разпределени, със средна стойност около 70 инча (1.8 m). Повечето мъже имат височина близка до средната, въпреки че малко число изключения имат височина значително над или под средната стойност. [[Хистограм]] на височината на мъжете ще има с формата на камбана, с все по-действителна форма колкото повече данни са употребени.
== Дефиниция ==
Най-простият вид нормално разпределение е известен като '''стандартно нормално разпределение''', описано чрез функцията за на плътност на вероятността
: <math>
\phi(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{- \frac{\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2} x^2},
</math>
Константата в този израз ни усигурява че цялата площ под кривата ''ϕ''(''x'') е равна на единица,[доказателство] а 1⁄2 в експонента прави “широчината” на кривата (мерена като половина на разстоянието между [[точките на прегъване]] на кривата) също еднакви на единица. В статистиката е традиционно[7] тази функция да се отбелязва с Гръцката буква ''ϕ'' ([[фи]]), докато функциите на плътността за всички други разпределения са обикновено отбелязвани с буквите ''ƒ'' или ''p''.
В общия случай, нормалното разпределение се взема от вдигането на квадратна функция в експонета (точно както експонентното разпределение се образува вдигането на линейна функция в експонента):
: <math>
f(x) = e^{a x^2 + b x + c}. \,
</math>
Това води до класическата “камбанена” форма (при условие че ''a'' < 0 така че квадратното уравнение е [[вдлъбнато]]). Забележете че f(x) > 0 навсякъде. Някой може да нагласи a за да контролира “ширината” на формата на камбаната, след това да нагласи ''b'' за да движи централния максимум на камбаната по дължина на оста ''x'', и най-накрая да нагласи ''c'' да контролира “височината” на камбаната. За да бъде f(x) истинска функция на плътност на вероятността в '''R''', трябва да изберем c така че <math>\scriptstyle\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx\ =\ 1</math> (което е възможно само когато ''a'' < 0).
Вместо да използване ''a'', ''b'', и ''c'', много по-естествено е да опишем нормалното разпределение чрез неговата средна стойност ''μ'' = −''b''/(2''a'') и дисперсия σ<sup>2</sup> = −1/(2''a''). Преминавайки на тези нови параметри ни позволява да запишем вероятността функция на плътност на вероятността в удобна стандартна форма,
: <math>
f(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\, e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
= \tfrac{1}{\sigma}\, \phi\!\left(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\right).
</math>
Забележете че за стандартното нормално разпределение, ''μ'' = 0 и σ<sup>2</sup> = 1. Последната част от уравнението по-горе показва че всяко друго нормално разпределение мое да бъде разглеждано като версия на стандартното нормално разпределение което е било разтеглено хоризонтално с фактор σ и след това транслирано надясно на разстояние ''μ''. Така че, ''μ'' определя положението на централния максимум на формата на камбаната, а σ определя “ширината” на формата на камбаната.
| |||