Числен анализ: Разлика между версии

541 байтове добавени ,  преди 11 години
увод - по ен:
м (подреждане)
(увод - по ен:)
'''Численият анализ''' (или '''числени методи''') е дял на [[математика]]та, насочен към създаването на [[Алгоритъм|алгоритми]] за решаването на [[Непрекъснатост|недискретни]] задачи чрез използването на числена [[апроксимация]], за разлика от по-общите [[символни изчисления]]. Сред подобластите на числения анализ са намирането на приблизителни решения на [[Алгебрично уравнение|алгебрични]] и [[Диференциално уравнение|диференциални уравнения]] и системи от тях, [[интерполация]]та, [[апроксимация]]та, [[екстраполация]]та, численото [[диференциране]] и [[интегриране]], апроксимацията при задачи със [[Собствена стойност|собствени стойности]] и други.
{{Обработка|форматиране}}
 
'''Численият анализ''' е предмет от [[математика]]та занимаващ се с намирането на начини за решаване ([[алгоритъм|алгоритми]]) на математически формулирани задачи. Алгоритъмът представлява еднозначно определена последователност от елементарни изчислителни операции за всеки възможен случай и имайки предвид определени математически функции и условия.
 
Численият анализ намира широко практическо приложение в различни области на [[наука]]та и [[техника]]та. Първоначално възникнал във връзка с решаването на задачи от областта на [[физика]]та, днес методи на числения анализ намират приложение и в много други сфери - [[оптимизация]]та при формирането на портфейли от финансови активи, [[Числена линейна алгебра|числената линейна алгебра]] при анализа на данни, [[Стохастично диференциално уравнение|стохастичните диференциални уравнения]] и [[Верига на Марков|веригите на Марков]] при симулирането на живи клетки в биологията.
Повечето задачи от естествените науки инженерството и икономиката могат да бъдат определени и моделирани математически от численото им решение. Подобен вид задачи се описват с [[Обикновено диференциално уравнение|диференциални]] и [[интеграл]]ни [[уравнение|уравнения]] съставени от непрекъснати функции зависещи пространство-временния континуум на изследваната физическа среда. Числените методи осигуряват приблизителни решения на уравненията със задоволителна точност за инженерните и други предназначения.
 
До средата на 20 век числените методи изискват трудоемки ръчни изчисления, базирани на интерполиране в големи отпечатани таблици. С появата и широкото разпространение на [[компютър|компютрите]] те стават много по-достъпни и намират все по-широко приложение в практиката.
Освен числените методи за решаване на системи линейни и нелинейни уравнения (важен клас са частните диференциални уравнения), '''численият анализ''' обхваща още интерполацията, апроксимацията, екстраполацията, численото диференциране и интегриране и апроксимацията при задачи със собствени стойности.
 
== Методика ==
'''Моделиране:''' изследваната задача трябва да се представи с адекватен математически модел. Това става често на базата на идеализирани допускания, при което се получава приблизителна форма (уравнение) на задачата. За тази форма понякога съществува точно аналитично решение, но в повечето случаи е възможно само числено решение с определена грешка.
 
'''Реализиране:''' намира се метод за решение на задачата. Съществуват много разработени числени методи, които могат да бъдат избрани. Търси се подходящ метод за конкретната задача във формата на [[софтуер|компютърна програма или софтуерна система (продукт)]] или се разработва самостоятелно компютърна програманова. При това при по-сложните и обемисти за изчисление задачи възникват допълнителни проблеми, свързани с организиране на данните и визуализиране на полученото решение.
 
'''Валидиране:''' численото решение е свързано с редица изчислителни [[Грешка|грешки]] свързани с различни приближения,. Основният източник на първогрешки мястое изчислителнитетова, машиниче (компютърниизчислителните системи)машини работят с числа с крайна точност (с ограничен брой позиции след десетичната точка). Поради тези причини валидността на модела, надеждността на програмата и стабилността на числения метод и податливостта към грешки трябва да се проверят. Когато след това се провеждат изчисления с конкретни числа, всяко изчисление трябва да се съпровожда с анализ на точността, което не винаги е възможно на практика.
 
{{Обработка|форматиране}}
 
== Подобласти ==
Голяма група задачи в инженерството и физиката са свързани с линейни (също и квазилинейни) частни диференциални уравнения (ЧДУ) от втори ред. Такива уравнения са елиптичното, параболичното и хиперболичното ЧДУ. За решението на уравненията е необходимо задаването на определени начални както и гранични стойности на променливите и затова задачите се наричат задачи с начални и задачи с гранични стойности. В зависимост от начина на задаване на граничните стойности се определят два типа задачи: задача на Дирихле и задача на Нойман. Основното предназначение на числените методи е да преобразуват диференциалните или интегрални уравнения в матрични уравнения. Най-популярните методи за решаване на споменатите задачи са методът с крайни елементи (МКЕ) и методът с крайни разлики (МКР). Двата метода се използват за намиране на приблизително решение на ЧДУ за всяка точка от дефинирана предварително пространствена област със зададени гранични условия. При някои задачи ЧДУ се свеждат до интегрални уравнения. Интегралните уравнения могат да бъдат спрямо обеми от пространствената област или спрямо гранични повърхнини. В последния случай за решение на задачата се използва метода с гранични елементи (МГЕ) както и метода със симулирани заряди. Стохастичният метод Монте Карло приспособен за пространствени области е също приложим за решаване на интегрални уравнения.
 
{{Раздели на математиката}}
 
 
[[Категория:МатематикаЧислени методи| ]]
 
[[Категория:Математика]]