Уравнение на Шрьодингер: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м Робот Добавяне: tt:Шредингер тигезләмәсе |
малко по en |
||
Ред 17:
Уравнението на Шрьодингер представлява еволюцията на вълновата функция в [[представяне на Шрьодингер]].
== Извод==
=== Кратък евристичен извод===
Следващият евристичен подход, макар и различен от този, който следва Шрьодингер, много добре илюстрира логиката и физическите съображения при извода.
==== Допускания ====
#Пълната [[енергия]] ''E'' на една частица е
#:<math>E = T + V = \frac{p^2}{2m}+V.</math>
#:Това е класически израз за частица с маса ''m'', където пълната енергия ''E'' е сума от [[Кинетична енергия| кинетичната енергия]] ''T'' и [[Потенциална енергия |потенциалната енергия]] ''V'' (която може да се променя с местоположението и [[време]]то). ''p'' и ''m'' са съответно [[Импулс (механика)|импулса]] и [[Маса (величина)|масата]] на частицата.
#[[Фотоелектричен ефект|Хипотезата на Айнщайн за квантите на светлината]] от 1905 г., съгласно която енергията ''E'' на фотона е пропорционална на [[честота]]та ''ν'' (или [[ъглова честота|ъгловата честота]], ''ω'' = 2π''ν'') на съответстващата електромагнитна вълна:
#:<math>E = h\nu = \hbar \omega \;,</math>
# Хипотезата на [[Вълни на дьо Бройл| дьо Бройл]] от 1924 г., съгласно която всяка частица може да бъде асоцирана с вълна, а също и че импулсът на частицата ''p'' е свързан с дължината на вълната ''λ'' (или [[вълново число|вълновото число]] ''k'') по следния начин:
#:<math>p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k\;,</math>
#:Изразявайки '''p''' и '''k''' като [[вектор]]и, имаме
#:<math>\mathbf{p} =\hbar \mathbf{k}\;.</math>
# Тези три допущания позволяват да изведем уравнението само за [[плоска вълна]]. За да е валидно в общия случай е необходимо да включим в допущанията и [[принципа за суперпозицията]], като по този начин постулираме, че уравнението на Шрьодингер е [[Линейно диференциално уравнение|линейно]].
==== Изразяване на вълновата функция като комплексна плоска вълна====
Голямото прозрение на Шрьодингер през 1925 г. е да изрази фазата на [[плоска вълна|плоската вълна]] като [[Комплексно число|комплексен]] [[фазов фактор]]
:<math>\Psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}</math>
и да си да даде сметка, че доколкото
:<math> \frac{\partial}{\partial t} \Psi = -i\omega \Psi </math>,
то
:<math> E \Psi = \hbar \omega \Psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi </math>
По подобен начин от
:<math> \frac{\partial}{\partial x} \Psi = i k_x \Psi </math>
и
:<math> \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi = - k_x^2 \Psi </math>
се стига до
:<math> p_x^2 \Psi = (\hbar k_x)^2 \Psi = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi </math>
така че, отново за плоска вълна, той получава:
:<math> p^2 \Psi = (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \Psi = -\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \Psi = -\hbar^2\nabla^2 \Psi </math>
След като заместим тези изрази за енергията и импулса в класическата формула, с която започнахме, получаваме прочутото уравнение на Шрьодингер за единична частица в три измерения при наличие на потенциал ''V'':
:<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi</math>
== Виж още ==
| |||