Дзета-функция на Риман: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Luckas-bot (беседа | приноси) м Робот Добавяне: sk:Riemannova zeta funkcia |
м форматиране: 13x интервали, А|АБ, заглавие (ползвайки Advisor.js) |
||
Ред 9:
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}
</math>
Този ред е [[ред на Дирихле]] и е сходящ за всички [[реално число|реални числа]] ''s''> 1. Функцията може да се додефинира за всички комплексни ''s'' ≠ 1 с помощта на [[аналитично продължение]]. Риман показва това в статията си ''„Относно броя на простите числа по-малки от дадено число“'' през [[1859]] година. Той прави това на две стъпки. Първо Риман показва че редът е сходящ за всичи комплексни ''s'' с реална част Re(''s'') по-голяма от 1 и дефинира [[аналитична функция]] на проенливата ''s'' в областта {''s'' ∈ '''C''' : Re(''s'') > 1} След това той показва как да продължи ζ(''s'') за всички комплексни ''s'' различни от 1. В резултат дзета-функцията се превръща в [[мероморфна функция]] на
''s'', която е [[холоморфна функция|холоморфна]] в областта {''s''∈'''C''':''s''≠ 1} и има [[прост полюс]] в ''s''=1. Аналитичното продължение дефинира еднозначно функцията ζ(''s'') извън първоначалната област на сходимост. В допълнение на това, Риман извежда и [[функционално уравнение]] за дзета-функцията, което дава връзка между стойността ѝ в точките ''s'' и 1 − ''s''. Известната [[хипотеза на Риман]], която е формулирана във същата статия се отнася за нулите на така продължената функция. За да се подчертае, че ''s'' е ''комплексно'' число, то често се записва във вида ''s''=σ + ''it'', където σ = Re(''s'') е [[реална част|реалната]], а ''t'' = Im(''s'') — [[имагинерна част|имагинерната]] част на ''s''.
== Отношение към простите числа ==
Още [[Леонард Ойлер|Ойлер]] открива връзката между дзета-функцията и [[просто число|простите числа]]. Той открива формулата
:<math>
\begin{align}
Ред 25:
</math>
където отдясно стои [[безкрайно произведение]] по всички прости числа ''p''. Това произведение е сходящо за Re(''s'') > 1. То е следствие на два основни резултата в математиката: формулата за [[геометрична прогресия]] и [[основна теорема на аритметиката|основната теорема на аритметиката]].
== Свойства на Дзета-функцията ==
<!--For the Riemann zeta function on the critical line, see
Ред 33:
=== Стойности в зададени точки ===
Следните числа са най-често използваните стойности на дзета-функцията на Риман.
:<math>\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots =
\infty</math>; това е
[[хармоничен ред|хармоничния ред]].
Ред 64:
:<math>\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}</math>
за <math>n\ge 1</math>.
<math>B_k = 0</math>, когато k е нечетно и по-голямо от 1, от където следва, че
:<math>\zeta(-2n)=0\,</math>
тоест четните отрицателни цели числа са нули (корени) на дзета-функцията. Тези нули се наричат ''тривиални нули''. Стойностите за първите няколко отрицателни нечетни числа са
Ред 89:
</math>
което е изпълнено за всички комлпексни числа ''s'' освен 0 и 1. Тук, с Γ е обозначена [[гама-функция
[[полюс (комплексен анализ)|полюс]] с [[резидуум]] 1. Равенството също показва, че дзета-функцията има нули в точките
−2, −4, … . Това са така наречените тривиални нули.
Ред 111:
(''Nemes'')-->
=== Нули на дзета-функцията на Риман ===
Дзета-функцията на Риман има нули в отрицателните цели числа. Това са така наречените '''тривиални нули'''.
Те са тривиални в смисъл, че тяхното съществуване може да се докаже сравнително лесно (например използвайки функционалното уравнение). Всички останали нули се наричат '''нетривиални'''. Нетривиалните нули са обект на много по-голямо внимание, не само защото тяхното разпределение е много по-слабо изучено, но и защото информация за тях дава отговори на забележително много въпроси от различни области на математиката. Известно е че всички нетривиални нули лежат в отворената ивица {''s'' ∈ '''C''': 0 < Re(''s'') < 1}, която се нарича '''критичната ивица'''. [[Хипотеза на Риман|Хипотезата на Риман]],
която се смята за един от най-важните нерешени проблеми в математиката,
Ред 120:
Местоположението на нулите на дзета-функцията е от огромна важност за теорията на числата. От факта, че всички нетривиални нули лежат в критичната ивица може да се изведе [[закон за разпределение на простите числа|законът за разпределение на простите числа]]. Най-добрия известен резултат за областта в която се намират критичните нули<ref>Ford, K. ''Vinogradov's
integral and bounds for the Riemann zeta function'', Proc. London
Math. Soc. (3) '''85''' (2002), pp. 565-633</ref> е, че ζ(σ+i''t'') ≠ 0 ако |''t''| ≥ 3 и
:<math>\sigma\ge
1-\frac{1}{57.45(\log{|t|})^{3/2}(\log{\log{|t|}})^{1/3}}.</math>
Този резултат е неизмеримо по-слаб от твърдението на римановата хипотеза. Той дори не гарантира, че съществува ивица {''s'' ∈ '''C''': ε ≤ Re(''s'') ≤ 1-ε} извън която дзета-функцията да няма нули.
Ред 131:
Теоремата за критичната права твърди, че положителен процент от нулите лежи върху критичната права.
Нулата с най-малка неотрицателна имагинерна част в критичната ивица е 1/2+i14,13472514… От функционалното уравнение може да се види, че множеството на нетривиалните нули е симетрично относно правата Re(''s'') = 1/2. Също така от факта, че ζ(''s'')=ζ(''s''*)* за всички комплексни ''s'' ≠ 1 (* означава [[комплексно спрягане]])
следва, че нулите на дзета-функцията са симетрични относно реалната права.
Line 140 ⟶ 139:
\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac{\mu(n)}{n^s}
</math>
за всяко комплексно число ''s'' с реална част > 1.
== Обобщения ==
Line 152 ⟶ 151:
* [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html Riemann Zeta Function, във Wolfram Mathworld] — Математическо насочено изложение на английски
* [http://www.math.kth.se/~lzhao/PastTeach/C65Spring05/C65notes.pdf] — (PDF) Записки на английски по теория на дзета-функцията на Риман
== Източници ==
| |||