Взаимно прости числа: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
оправаяне на предната грешка |
Редакция без резюме |
||
Ред 1:
'''Взаимно прости числа''' в [[математиката]] се наричат
Например 6 и 35 са взаимнопрости, но 6 и 27 не са, понеже и двете се делят на 3. Числото 1 е взаимно просто с всяко цяло число, а 0 е взаимно просто само с 1 и −1.
Най-древният известен [[алгоритъм]], [[алгоритъм на Евклид|алгоритъмът на Евклид]], намира [[най-голям общ делител|най-големия общ делител]] на две числа. В частност алгоритъмът разпознава дали две числа са взаимно прости.▼
▲
Вероятността две произволни цели числа да са взаимно прости се равнява на 6/[[пи|π]]<sup>2</sup>, или около 60%.▼
== Свойства ==
[[Категория:Теория на числата]]▼
Има няколко условия, които са еквивалентни на това числата ''a'' и ''b'' да са взаимно прости:
*Съществуват цели числа ''x'' и ''y'', такива, че ''ax'' + ''by'' = 1 (виж [[Теорема на Безу]]).
*Цялото число ''b'' има [[реципрочност|реципрочен]] [[модул (аритметика)|модул]] ''a'': съществува цяло число ''y'', такова, че ''by'' ≡ 1 (mod ''a''). С други думи, ''b'' е [[неутрален елемент (теория на пръстените)|неутрален елемент]] в [[пръстен (математика)|пръстен]]а '''Z'''/''a'''''Z''' от цели числа с модул ''a''.
Вследствие на това, ако ''a'' и ''b'' са взаимно прости и ''br'' ≡ ''bs'' (mod ''a''), то ''r'' ≡ ''s'' (mod ''a'') (тъй като можем да „делим на ''b''“, когато работим с модул ''a''). Освен това, ако ''a'' и ''b''<sub>1</sub> са взаимно прости и ''a'' и ''b''<sub>2</sub> са взаимно прости, то ''a'' и ''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub> са също взаимно прости (тъй като прозиведението на неутрални елементи е неутрален елемент).
Ако ''a'' и ''b'' са взаимно прости и ''a'' е делител на произведението ''bc'', то ''a'' е делител на ''c''. Това може да се разглежда като обобщение на [[Лема на Евклид|лемата на Евклид]], която твърди, че ако ''p'' е просто и ''p'' е делител на произведението ''bc'', то или ''p'' е делител на ''b'', или ''p'' е делител на ''c''.
Две цели числа ''a'' и ''b'' са взаимно прости тогава и само тогава, когато точката с координати (''a'', ''b'') в една [[декартова координатна система]] „се вижда“ от началото (0,0), в смисъл, че няма друга точка с цели координати на отсечката между началото и (''a'', ''b'').
▲
Две [[естествено число|естествени числа]] ''a'' и ''b'' са взаимно прости тогава и само тогава, когато числата 2<sup>''a''</sup> − 1 и 2<sup>''b''</sup> − 1 са взаимно прости.
Ако ''n''≥1 е [[цяло число]], числата, взаимно прости с ''n'', взети по модул ''n'', образуват [[група (математика)|група]] относно умножението. Тя се записва като ('''Z'''/''n'''''Z''')<sup>×</sup> or '''Z'''<sub>n</sub><sup>*</sup>.
== Обобщения ==
Два [[идеал (алгебра)|идеал]]а ''A'' и ''B'' в [[комутативност|комутативния]] [[пръстен (алгебра)|пръстен]] ''R'' са взаимно прости, ако ''A'' + ''B'' = ''R''. Това е обобщение на теоремата на Безу: с тази дефииниция два [[главен идеал|главни идеала]] (''a'') и (''b'') в пръстена от цели числа '''Z''' са взаимно прости тогава и само тогава, когато ''a'' и ''b'' са взаимно прости.
Ако идеалите ''A'' и ''B'' в ''R'' са взаимно прости, то ''AB'' = ''A''∩''B''. Освен това, ако ''C'' е трети идеал, такъв, че ''A'' съдържа ''BC'', то ''A'' съдържа ''C''. [[Китайска теорема за остатъците|Китайската теорема за остатъците]] е много важно твърдение за взаимно простите идеали.
Понятието „взаимно прости“ може да се разшири за произволно [[крайно множество]] от цели числа ''S'' = {''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, .... ''a''<sub>''n''</sub>}, в смисъл, че [[най-голям общ делител]] на множеството е 1. Ако всяка двойка цели числа в множеството са взаимно прости, множеството се нарича „взаимно просто по двойки“.
Всако взаимно просто по двойки множество е взаимно просто. Обратното, обаче, не е вярно: {6, 10, 15} е взаимно просто, но не е взаимно просто по двойки. (Всъщност всяка двойка цели числа в множеството има нетривиален общ делител.)
== Вижте също ==
* [[Най-голям общ делител]]
▲[[Категория:Теория на числата]]
[[de:Teilerfremdheit]]
| |||