Координатна система: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
→Вижте също: +1 |
по-дълбока кат и форматиране; 8x дълго тире, 4x интервали (ползвайки Advisor.js) |
||
Ред 6:
=== Разстояние ===
В най-простия едномерен случай
=== Абсциса ===
Ред 19:
== Видове координати ==
=== Афинни и декартови координати ===
[[Image:Affine-vs-cartesian.png|right|thumb|300px|Разликата между афинна и декартова координатна система]]
Нека в равнината е избрана произволна точка '''O''', която служи за начало на два неколинеарни вектора '''e<sub>1</sub>'''<sup>→</sup> и '''e<sub>2</sub>'''<sup>→</sup>. Така построената система наричаме '''афинна координатна система''', а правите '''Oe<sub>1</sub>''' и '''Oe<sub>2</sub>''' - ''координатни оси''. Тогава за всяка точка '''M''' от равнината на системата равенството '''OM'''<sup>→</sup> = ''x'''''e<sub>1</sub>''' + ''y'''''e<sub>2</sub>''' задава взаимно еднозначно съответствие на множеството от точките '''M''' върху множеството на наредените двойки (''x'', ''y'').
Line 28 ⟶ 29:
'''[[Декартова координатна система|Декартовата координатна система]]''' е частен случай на афинна координатна система, за която се изпълнени следните условия:
* координатните оси '''Oe<sub>1</sub>''' и '''Oe<sub>2</sub>''' са взаимно перпендикулярни (т.е. системата е ''[[Ортогонален|ортогонална]]'', ''правоъгълна''), и
* координатните вектори имат равни дължини
Декартовата (картезианската) координатна система е най-често използваната в обучението и практиката афинна координатна система. Исторически тя е и първата въведена
=== Полярни координати ===
Line 37 ⟶ 38:
Редица криви могат да се опишат много по-лесно чрез полярни, отколкото чрез декартови координати. Полярните координати обаче важат за точки в равнината. За точки в пространството се използват сферичните и цилиндричните координати.
Нека в равнината е отбелязана точка '''О''', която използваме за ''полюс'' (начало на полярна координатна система). Чрез лъч '''ο'''<sup>→</sup>, минаващ през т. '''О''', се задава нулева посока на системата и установява ''положителната посока'' на въртене
* полярната координата '''r''' на '''M''' е равна на разстоянието от т. '''M''' до т. '''О'''
* полярната координата '''Θ''' на '''M''' е измерената в [[радиан]]и мярка на ъгъла, на който трябва да завъртим в положителна посока лъча '''ο'''<sup>→</sup>, така че да съвпадне с лъча '''OM'''<sup>→</sup>.
Line 48 ⟶ 49:
Тези формули са валидни, когато началото на декартовата координатна система в равнината съвпадне с полюса '''O''' и когато положителната посока на оста '''x'''<sup>→</sup> съвпадне с положителната посока на лъча '''o'''<sup>→</sup>.
В конкретни задачи полярните координати са използвани в неявен вид от Албрехт Дюрер (1525), [[Исак Нютон]] и [[Якоб Бернули]] (1891). Първи [[Леонард Ойлер]] през 1748 г. стига до идеята, че положението на точка в равнината може да се определи само чрез ъгъл и разстояние. Във втората част на неговия труд "Analysis infinitorum" се появяват формулите за преобразуване на полярни в декартови координати. Самите термини "полюс" и "полярни координати" навлизат едва през XIX в. с работите на [[Гаспар Монж]] и школата му. Полярният ъгъл '''Θ''' така и не получава устойчиво название: наричан е "аномалия", "амплитуда", "азимут" и дори "аргумент".
Ред 60:
Нека в така дефинираното пространство е отбелязана втора точка '''M''' (≠ '''О'''). Тогава нейните '''сферични координати (r, Θ, φ)''' се определят по следния начин:
* сферичната координата '''r''' на '''M''' е равна на разстоянието от т. '''M''' до т. '''О'''.
* сферичната координата '''Θ''' на '''M''' е измерената в [[радиан]]и мярка на ъгъла, образуван от лъча '''e<sub>1</sub>'''<sup>→</sup> и проекцията '''OM*''' на лъча '''OM'''<sup>→</sup> върху екваториалната равнина. Ъгъл '''Θ''' още се нарича ''географска дължина''. Дефиниционната област на '''Θ''' е '''[-π; π]'''.
* сферичната координата '''φ''' на '''M''' е измерената в радиани мярка на ъгъла, образуван от лъчите '''e<sub>2</sub>'''<sup>→</sup> и '''OM'''<sup>→</sup> в определената от тях меридианна равнина. Ъгъл '''φ''' още се нарича ''географска ширина''. Дефиниционната област на '''φ''' е '''[-π/2; π/2]'''.
Ред 69:
'''Дефиниция 2, практическа:''' В разглеждана подходящо ориентирана (например хоризонтално) равнина се избират точка (полюс) и вектор, лежащ в тази равнина, с начало полюса. Избира се положителна посока на въртене в равнината спрямо вектора. Едната страна на равнината се приема за положителна (северна). Координатите на всяка точка в така полученото пространство се определят чрез 1) дължината на отсечката между полюса и точката, 2) ъгъла между проекцията на отсечката в хоризонталната равнина и вектора и 3) ъгъла между тази отсечка и нейната проекция върху равнината.
За практически използуваните системи освен горните, принципно необходими неща се уговарят и мерните единици за разстояние и ъгъл, както и спецификата им на отчитане. Така се получават [[астрономическа координатна система|астрономическа]], [[геодезическа координатна система|геодезическа]] и две леко различаващи се
[[Географски координати|Географските координати]] също са вариант на сферичните координати. Полюсът е в центъра на Земята, екваториалната равнина е през екватора, нулевата посока в тази равнина минава през Гринуич. Ъглите се мерят в градуси, минути и секунди в 2-те посоки, като плюсът и минусът имат словесни наименования
Ред 100:
* цилиндричната координата '''h''' на '''M''' е равна на дължината на проекцията от точка '''M''' към равнината.
Този вид координати са наречени ''цилиндрични'', понеже '''r''' играе ролята на радиус на цилиндър, а '''h''' - на неговата височина. Цилиндричните се различават от сферичните координати в това, че те се състоят от два скалара и един ъгъл, а сферичните
Формулите за трансформация на цилиндрични координати към декартови и обратно са следните:
Ред 114:
== История ==
Потребността от използване на координати се появява под различни форми в [[география]]та, [[астрономия]]та и [[математика]]та още във [[Вавилония]] и [[Древна Гърция]]. Познатите ни днес термини за координатните оси обаче започват да се използват със съвременното си значение едва през XVII в.
През XIV в. френският математик [[Никола Орем]] е строил графики, използвайки равнинни координати, които наричал ''"дължина"'' и ''"широчина"'' в смисъла на ''абсциса'' и ''ордината''.
Терминът '''абсциса''' (abscissa) се употребявал широко в латинските преводи от гръцки на математически трудове. Смисълът, който обаче е бил влаган в термина, било "отсечка". Тази практика се запазва за последно в трудовете на [[Бонавентура Кавалиери]] от 1635 г. През 1675 г. [[Готфрид Лайбниц]] налага новия прочит на термина абсциса като първа ос на координатната система.
Аполоний (ок. 260-170 г.пр.н.е.) нарича успоредните хорди в окръжността "линии прекарани поред", като превежда словосъчетанието от гръцки на латински като "ordinatum applicata". Оттук произхождат термините ''ордината'' и ''апликата'', като впоследствие изразът се разпада и двете понятия започват да се употребяват самостоятелно в контекста на сечения на кръга.
Думата '''ордината''' в съвременния ѝ смисъл като втора координата на точка е използвана за първи път от Лайбниц (1694 г.). Приблизително по това време той въвежда и самия термин координата, като по този начин подчертава равноправието на абсцисата и ординатата.
Малко популярната дума '''апликата''' означава третата координатна ос, когато координатната система е пространствена.
Line 124 ⟶ 126:
* ''"Математически термини"'', Н. В. Александрова, ДИ "Наука и изкуство", София, 1989.
* ''"Физико-математическа и техническа енциклопедия'', т. 2, Издателство на БАН, София, 2000.
== Вижте също ==
Line 130 ⟶ 131:
* [[Полярна координатна система]]
▲[[Категория:Математика]]
[[af:Koördinatestelsel]]
| |||