Разлика между версии на „Математически анализ“

=== Диференциране === по ен:
(=== Безкрайно малки величини и граници === по ен:)
(=== Диференциране === по ен:)
=== Диференциране ===
{{основна|Производна}}
 
{{раздел-мъниче}}
Една от основните подобласти на математическия анализ е [[Диференциално смятане|диференциалното смятане]], което изследва диференцирането, процесът на получаване на [[производна]]та на дадена функция. Производната на дадена функция в определена точка от нейното дефиниционно множество характеризира дребномащабното поведение на функцията в тази точка, отразявайки промяната в нейната стойност при много малко изменение на нейния аргумент.
 
Например, ако ''f'' е функция, ''a'' е число от нейното дефиниционно множество, а ''h'' е число близко до 0, тогава ''a'' е близко до ''a'' + ''h'', а ''f''(''a'') е близко до ''f''(''a'' + ''h''), а наклонът на графиката на функцията между тези две точки е:
 
:<math>m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}</math>
 
Този израз се нарича [[диференчно частно]]. Правата, преминаваща през двете точки от графиката на функцията се нарича [[секуща]], така че ''m'' е наклонът на секущата между точките (''a'', ''f''(''a'')) и (''a''&nbsp;+&nbsp;''h'', ''f''(''a''&nbsp;+&nbsp;''h'')). Секущата е само приближение на поведението на функцията в точката ''a'', тъй като тя не отчита какво става между ''a'' и ''a''&nbsp;+&nbsp;''h''. Тъй като е невъзможно ''h'' де се приеме за 0, защото това би довело до деление на 0, производната се дефинира като границата на израза, когато ''h'' клони към 0:
 
:<math>\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}</math>
 
Например, производната на функцията ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>2</sup> в точката ''a''&nbsp;=&nbsp;3 се изчислява по следния начин:
 
:<math>\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} = \lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} = \lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6
</math>
 
Чрез определянето на производната на функцията във всяка точка от нейното дефиниционно множество се получава нова функция - за разлика от функциите, при които аргументът и резултатът са числа, диференцирането представлява [[линеен оператор]] с аргумент изходната функция и резултат нейната производна функция. Например, ако изходната функция е ''f''(''x'')&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>2</sup>, резултатът от диференцирането ще е друга функция: ''g''(''x'')&nbsp;=&nbsp;2''x''.
 
Съществуват няколко различни конвенции за означаване на производните, като най-често се използват тези на Лайбниц и Лагранж:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
| style="width:25%;" | Означения на Лайбниц
| style="width:25%;" | Означения на Лагранж
| style="width:25%;" | Означения на Нютон
| style="width:25%;" | Означения на Ойлер
|-
| <math> g(x) = \frac{df}{dx} \!</math>
| <math> g(x) = f'(x) \!</math>
| <math> g(x) = \dot f(x) \!</math>
| <math> g(x) = D_x f(x) \!</math>
|}
 
=== Интегриране ===