Математическо доказателство: Разлика между версии

 

Доказаните твърдения се наричат [[Теорема|теореми]] в математиката, като се приема, че доказателството е изнамерено от някого, някой пръв е извършил доказването. Когато нито утвърждаващото, нито отричащото твърдение все още не са доказани, такова твърдение се нарича [[хипотеза]]. Когато в процеса на доказването на теорема се отделят помощни за тях твърдения, по-малко сложни от теоремата, те се наричат [[Лема|леми]].

В зависимост от това, дали при доказването на твърдението се използва или не се използва неговото отрицание, математическото доказателство е пряко или косвено. Такова доказателство, при което се доказва неверността на отрицанието на дадено твърдение, се нарича косвено. Доказателство, в което не се използва доказване неверността на никое твърдение, се нарича пряко.

=== Структура на пряко доказателство ===

 

Исторически съществуват три схеми на разсъждения за извършване на тези дейности.

Импликациите се откриват отзад напред, като първо се откриват обратните им. Съществуват изследвания, че тази схема се използва и преди Евклид, още през пети век пр.н.е. в школата на [[Платон]]. Има вида:

: Ако е вярно <big>q</big>, то вярно е <big>p_k</big>.

:::::::::: <math>q \rightarrow p\,</math>

За доказване на твърдението се използват обратните импликации на откритите, проверява се верността им, подреждат се в обратен ред и се прави необходимият извод. При тази схема доказателството се разчленява на отделни стъпки (импликации), затова се възприема, че чрез схемата на Евклид се прави анализ на доказателството, а след като с проверката на верността на обратните импликации на откритите и подреждането им в обратен ред, се получава самото доказателство, по този начин се извършва синтез на доказателството. Така в схемата на Евклид се съдържа и схемата на синтеза.

: Тъй като е вярно <big>p</big>, то вярно е <big>p₁</big>.

:::::::::: <math>p \rightarrow p_1\,</math>

:::::::::: <math>p \rightarrow q\,</math>

Често схемата на синтеза се използва и без преди това да е използвана първата част от схемата на Евклид за анализ на доказателствата. Това са случаи, при които извършващият доказателството е достатъчно трениран в провеждането на подобни доказателства.

: За да е вярно <big>q</big>, достатъчно е да е вярно <big>p_k</big>.

:::::::::: <math>p_k \rightarrow q\,</math>

:::::::::: <math>p_1 \rightarrow p\,</math>

 

:::::::::: <math>p \rightarrow q\,</math>

 

 

Трябва да се отбележи, че при използването на схемите често се извършва известното от психологията „съкращаване на действията“, т.е. не винаги се пише и изговаря задължително всичко. Важно е да се спазва съответната насоченост на разсъжденията - така определена схема е проведена.

=== Предимства и недостатъци на трите схеми ===

От [[Дидактика|дидактична]] гледна точка най-стройна е схемата за синтеза - при нея направо се получава необходимото доказателство. За неподготвените в извършване на математически разсъждения хора то е изкуствено и трудно.

Разсъжденията по схемата на Евклид не осигуряват директно необходимите междинни импликации, но е по-ясна връзката между основната цел (твърдението <big>q</big>) и междинните импликации, защото се тръгва от <big>q</big>. В тази връзка схемата на Евклид изглежда по-лесна от схемата на синтеза.

 

 

== Източници ==

<references />