Логаритъм: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ShadeOfGrey (беседа | приноси) м Премахнати редакции на 92.247.198.116 (б.), към версия на ChuispastonBot |
|||
Ред 10:
[[Логаритмична скала|Логаритмичните скали]] се използват за по-компакно изобразяване на величини, които варират в широки граници. Например, [[децибел]]ът е логаритмична мярка, измерваща [[звуково налягане]] или отношение на напрежения. В химията [[Водороден показател|водородният показател]] (pH) е логаритмична мярка за [[киселинност]]та на воден разтвор. Логаритмите се срещат често в различни научни формули, както и в измервания за сложността на [[Алгоритъм|алгоритми]] и при [[фрактал]]ите. С тях се описват [[Музикален интервал|музикалните интервали]], участват в оценки за броя на [[Просто число|простите числа]] или в някои модели на [[психофизика]]та.
== История ==
Първите изследвания върху концепции сходни с логаритъма, са правени от индийския математик от 8 век [[Вирасена]], който разглежда идеята за ''ардхакчеда'' - колко пъти число от вида 2<sup>''n''</sup> може да бъде разделено на две цели половини. За точните степени на 2 това число е логаритъмът за тази основа, който е цяло число. Вирасена описва и други свързани зависимости и въвежда също логаритми с основа 3 и 4.<ref>{{cite | фамилия-част = Gupta | име-част = R. C | заглавие-част = History of Mathematics in India | url-част = http://books.google.co.uk/books?id=-xzljvnQ1vAC&pg=PA329&lpg=PA329&dq=Virasena+logarithm&source=bl&ots=BeVpLXxdRS&sig=_h6VUF3QzNxCocVgpilvefyvxlo&hl=en&ei=W0xUTLyPD4n-4AatvaGnBQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBgQ6AEwATgK#v=onepage&q=Virasena%20logarithm&f=false | фамилия = Hoiberg | име = Dale | съавтори = Indu Ramchandani | заглавие = Students' Britannica India: Select essays | място = New Delhi | издател = Popular Prakashan | дата = 2000 | isbn = 9780852297629 | език = en | страница = 329}}</ref><ref>{{cite web | last = Jain | first = Hiralal | year = 1996 | url = http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm | title = The Shatkhandagama of Pushpadanta and Bhootabal | work = jainworld.com | publisher = Jain Samskriti Samrakshaka Sangha | accessdate = 7 юни 2011 | lang = en}}</ref> През 1544 година германецът [[Михаел Щихел]] публикува „Обща аритметика“ (''„Arithmetica integra“''), която съдържа таблица със степените на 2, смятана за ранен предшественик на логаритмичните таблици.<ref>{{cite book | last = Stifelio | first = Michaele | year = 1544 | title = Arithmetica Integra | publisher = Iohan Petreium | location = London | pages = 13 | lang = la}}</ref><ref>{{cite | фамилия-част = Bukhshtab | име-част = A.A. | съавтори-част = V.I. Pechaev | заглавие-част = Arithmetic | url-част = http://eom.springer.de/A/a013260.htm | фамилия = Hazewinkel | име = Michiel | заглавие = Encyclopaedia of Mathematics | издател = Springer | дата = 2001 | isbn = 978-1556080104 | език = en}}</ref><ref>{{cite book | last = Groza | first = Vivian Shaw | coauthors = Susanne M. Shelley | year = 1972 | title = Precalculus mathematics | publisher = Holt, Rinehart and Winston | location = New York | pages = 182 | isbn = 978-0-03-077670-0 | lang = en | url = http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel}}</ref>
Логаритмите са „изобретени” от [[Джон Непер]] ([[1550]] - [[1617]]) – шотландски математик, лорд на Мърчистън, и от [[Йобст Бюрги]] – приятел на [[Йоханес Кеплер|Кеплер]] и кралски придворен часовникар в [[Прага]], както и майстор на астрономически инструменти. Непер изобретява логаритмите преди [[1594]] г., но публикува откритието си едва след 20 години. В заглавието на труда му „Описание на чудната таблица на логаритмите” ("Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio") личи същият възторг, с който логаритмите са били посрещани навсякъде.
Логаритмите с основа ''е'' са въведени от лондонския учител по математика [[Джон Спийдъл]]; през [[1619]] г. той издава таблица на „новите логаритми” на числата от 1 до 1000. Тези логаритми възникват „естествено” при определяне на лицата, ограничени от хиперболата у=1/х (Лицето на фигурата, ограничено от хиперболата 1/x и правите x=a и x=b, при a<b, e '''ln''' b - '''ln''' a); затова [[Николаус Меркатор]] нарича логаритмите при основа е „естествени” или „хиперболични”. Италианският математик [[Пиетро Менголи]] също отбелязва важността на логаритмите с основа ''е'' и ги нарича Logarithmi naturali ([[натурален логаритъм|натурални логаритми]]).
Термините „логаритъм” и „антилогаритъм”, въведени от Непер, получават днешния си смисъл у [[Джон Уолис]] ([[1693]]). Непер разбира под логаритъм log sin α, а под антилогаритъм log cos α. Понятието характеристика, както и самият термин се появяват първоначално в „Arithmetica logarithmica” на [[Хенри Бригс]] през [[1624]] г.; в таблиците на Непер както числата, така и техните логаритми са цели. Записването на знака над характеристиката започва от [[Уилям Отред]] в изданието на „Clavis mathematicae” ([[1652]]), но не получава веднага признание. Мантисата (от етруското mantisa – „добавка”, „придатък”) е въведена от Уолис, който нарича така дробната част на произволна десетична дроб. За първи път Ойлер използва тази дума за означаване на десетичните знаци само на логаритъма ([[1748]]).
Думата „основа” е заимствана от теорията на степенуването и е пренесена в теорията на логаритмите от Ойлер. Модулът на прехода е използван още от Меркатор, а терминът е въведен от [[Роджър Коутс]] ([[1712]]). Глаголът „логаритмувам” се появява едва през XIX век.
Непер не използва никакви символи за означаване на логаритмите. Утвърждаващите се съкращения Log, log или l (у Кеплер, Бригс и Отред съответно през [[1624]], [[1631]] и [[1647]] г.) са се употребявали около столетие без строгото им различаване. Коши пръв предлага да се въведат различни знаци за десетичните и естествените логаритми. Означения, близки до съвременните, са въведени от немския математик [[Прингсхайм]] ([[1893]]). Независимо от бързото разпространяване на логаритмите и утвърждаването им в практиката в тяхната теория остават още много неясни моменти дори за изключителните умове на онова време.
Названието, въведено от Непер, произхожда от гръцките думи λόγος и άρίθμός и означава буквално „числа на отношенията”; обяснява се с това, че логаритмите възникват при съпоставянето на членовете на две редици. Основата на неговите логаритми е близка до 1/е. Английският математик Бригс опростява таблиците на Непер и го убеждава да премине към десетична основа ([[1624]]). Тези логаритми впоследствие започват да се наричат „бригови”, „десетични” или „обикновени”. Таблиците на Бюрги са съставени през периода [[1603]]-[[1611]] г. Предполага се, че са били публикувани след 10 години под названието „Таблици за геометричната и аритметичната прогресия заедно с подробно наставление, как да се разбират и използват при всякакви пресмятания”. Те остават незабелязани до [[1856]] г.
Таблиците за десетичните антилогаритми са съставени от английските математици [[Пел]] и [[У.Уорнър]] между [[1630]] и [[1640]] г. Естествените антилогаритми са пресметнати от барон фон Вега – австрийски офицер и математик ([[1794]]).
== Свойства на логаритмите ==
| |||