Отваря главното меню

Промени

м
външни препратки +1; форматиране: 25x интервали, 3x заглавие-стил (ползвайки Advisor.js)
 
'''Златно сечение''' (известно още като '''златна пропорция''', '''златен коефициент''' или '''[божествена пропорция][http://www.vbox7.com/play:94a1d59c]''') е [[ирационално число]] в [[математика]]та, което изразява отношение на части, за които по-малката част се отнася към по-голямата, така както по-голямата към цялото. То се отбелязва с [[гръцка азбука|гръцката буква]] [[Фи|φ]] и има стойност приблизително равна на 1,618...
 
Златното сечение е не само математическо понятие, но е символ за красота, хармония и съвършенство в [[изкуство]]то, [[наука]]та и [[природа]]та. Терминът "златно сечение" е въведен от [[Леонардо да Винчи]] като пропорция за "идеалното човешко тяло". То е било познато на [[Древен Египет|египтяните]] и древните гърци още в [[античността]]. Представата за хармония и отношение e в основата на философските идеи на [[Питагор]]. [[Египетски пирамиди|Египетските пирамиди]] и [[Партенон]]ът са пример за използването на пропорцията φ в архитектурата.
 
== История ==
 
В достигналата до нас антична литература златното сечение се среща за първи път в "[[Елементи]]" на [[Евклид]]. След Евклид с изучаване на това отношение са се занимавали и други древногръцки философи. В [[Средновековие|средновековна]] [[Европа]] златното сечение достига чрез преводите на "[[Елементи]]" на Евклид, а преводачът Дж. Кампано от Навара (III в.) прави първите коментари към преводите. По това време тайните на златното отношение се пазели ревностно и били известни единствено на посветените.
 
[[Image:Phi_uc_lc.svg|thumb|200px|Златното сечение се отбелязва с гръцката буква от φ - първата буква от името на древногръцкия скулптор [[Фидий]].]]
В епохата на [[Ренесанс]]а интересът на учените и художниците към това число се засилил във връзка с неговото приложение в [[геометрия]]та, в изкуството и най-вече в [[архитектура]]та. През [[1509]] г. във [[Венеция]] била издадена книгата на монаха [[Лука Пачоли]] "Божествена пропорция" с илюстрации, които се предполага, че са на [[Леонардо да Винчи]]. Книгата била възторжен химн на златното сечение, в която не се пропуска да се спомене дори "божествената същност" на числото като изражение на божието триединство.
 
Леонардо да Винчи също отделя голямо внимание на изучаването на златното отношение. Той го използва като пропорция за "идеалното човешко тяло". Именно той въвежда понятието "златно сечение" в резултат на множеството опити, които прави със сечения на стереометрично тяло, образувано от правилни петоъгълници, като достига до извода, че получените фигури са правоъгълници с отношение на страните, равно на златното отношение.
 
По това време в Северна [[Европа]] [[Албрехт Дюрер]] работи над същите проблеми. Според едно от неговите писма той се е срещал с Лука Пачоли при едно от пребиваванията му в Италия. Албрехт Дюрер подробно разработва теорията за пропорциите на човешкото тяло. Важно място в неговата работа заема златното отношение. Той установява, че ръстът на човека се дели в златно отношение от линията на кръста.
 
==Математически свойства==
 
===Определяне на стойността===
 
Две числа '''a''' и '''b''' са в зависимост, наречена златно сечение, ако отношението на по-малкото към по-голямото е равно на отношението на по-голямото към сбора им, което записано математически, дава следната формула:
 
:<math>\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} \qquad a > b</math>
 
При умножаване двете страни на равенството с '''a/b''' и заместване на '''a/b''' с '''&phi;''' се получава следното уравнение:
 
 
На това уравнение единственото решение е:
 
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,6180339887...</math>
 
===Алтернативни форми за представяне===
 
Тъй като <math>\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}</math>, то &phi; може да се представи като
 
:<math>\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}</math>
 
Друг начин на представяне следва от <math>\varphi^2 = 1 + \varphi</math>, при заместване на &phi;:
 
:<math>\varphi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}</math>
 
 
===Алгебрични свойства===
 
От уравнението
 
:<math>\varphi^2 = \varphi + 1</math>
 
следва, че &phi; е единственото положително число, което се превръща в реципрочното си при изваждане на единица:
 
:<math>\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 \approx 0,6180339887...</math>
 
Това число може да се срещне и с името '''сребърно сечение''' или '''сребърно отношение'''
 
Всяка степен на &phi; с показател цяло число може да се представи като сума от степените на &phi; с показатели двете по-малки цели числа
:<math>\forall n\in\mathbb{N}, \quad \varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}</math>
 
&phi; е също така границата, към която клони отношението на два последователни члена от [[число на Фибоначи|редицата на Фибоначи]]:
 
:<math>\varphi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}</math>
 
Златното сечение е число, което често се явява в [[геометрия]]та и най-вече във фигури, свързани с петоъгълна [[симетрия]]. Отношението на диагонал към страна в правилен [[петоъгълник]] е равно на φ.
 
====Геометрично построяванепостроение====
 
[[Картинка:Golden section construction.png|right|thumb|200px|Построяване на златно сечение]]
Отсечката ''AB'' може да се раздели от точката ''S'', така че <math>\frac{|AB|}{|AS|}=\frac{|AS|}{|SB|}=\varphi</math> по следния начин:
:# В точка ''B'' се построява перпендикуляр към ''AB'' и върху тази права се определя точка ''C'', така че ''BC'' да е равна на половината на ''AB''.
:# Построява се окръжност с център точка ''C'' и радиус ''BC'', която пресича ''AC'' в точка ''D''.
:# Построява се окръжност с център точка ''A'' и радиус ''AD'', която пресича ''AB'' в точка ''S''.
 
 
*'''Златен правоъгълник''' е [[правоъгълник]], при който отношението на страните е равно на златното сечение.
 
:При премахването на квадрат със страни, равни на по-малката страна на '''златен правоъгълник''', остатъкът е отново правоъглникправоъгълник със съотношение на страните, равно на φ, т.е. при премахването на квадрат от златен правоъгълник се получава отново златен правоъгълник. Това се доказва лесно, като се използва алгебричните свойства на φ и лицата на правоъгълниците.
 
:При повтаряне на тази последователност се получава поредица от все по-малки златни правоъгълници, като диагоналите на всички малки правоъгълници лежат на диагоналите на първоначалния правоъгълник или на първия отрязан правоъгълник.
 
*'''Златен триъгълник''' е равнобедрен [[триъгълник]], при който отношението на дължините на бедрото и основата е равно на златното сечение.
 
:Съществуват два вида триъгълници, при които отношението на дължините на бедрото и основата е равно на златното сечение: остроъгълен (при който основата е по-малка от бедрото и ъгълът при върха е 36°, а ъглите при основата са 72°) и тъпоъгълен (при който основата е по-голяма от бедрото и ъгълът при върха е 108°, а ъглите при основата са 36°). Вторият вид триъгълници често се нарича ''сребърен триъгълник''.
 
:Във всеки златен триъгълник може да се впише едновременно един ''сребърен'' и един златен триъгълник, който е φ пъти по-малък.
 
:Пентаграмът[[Пентаграм]]ът е фигура, образувана от 5 златни триъгълника, вписани в правилен петоъгълник Всяка от петте линии, съставящи тази фигура, дели другата в златно отношение.
 
*'''Златна спирала''' е [[спирала]], която се образува при вписване на четвърт от [[окръжност]] във всеки квадрат, получен при безкрайно разделяне на златен правоъгълник в поредица от все по-малки златни правоъгълници. Тази спирала се доближава до [[логаритмична спирала]] с център пресечената точка на диагоналите на първите два правоъгълника.
Въпреки, че не съществуват писмени свидетелства, останали от [[Древен Египет|­­древните египтяни]], смята се, че те са познавали златното сечение, защото отношения, близки до неговата стойност, се срещат в пропорциите на пирамидите. Например отношението на височината на страна на пирамидата в Гиза към нейната дължина в основата е равно на &phi;/2.
 
[[Древна Гърция|Древните гърци]] също са познавали това число благодарение на техните познания по геометрия, но не съществуват доказателства, че те са отдавали значение на златното сечение за разлика от числото [[Пи (математика)|Пи]] например. Най-ярък пример за използанетоизползването на отношението &phi; в гръцката архитектура е храмът [[Партенон]] в атинския [[Акропол]], където златното сечение може да се намери в повечето архитектурни детайли. Цялостното присъствие на това отношение в Партенона, построен от [[Фидий]], налага и използването на първата буква от неговото име &phi; за отбелязване на златното сечение.
 
[[Средновековие|Средновековните]] архитекти подобно на древните гърци са съчетавали изкуство и геометрия в своите творения и по този начин са използвали златното сечение в проектирането и строителството на църкви и катедрали. Като пример за златно отношение в Средновековието може да се даде катедралата [[Света Богородица (Париж)|Парижката света Богородица]]. На фасадата на тази катедрала се вижда, че всеки архитектурен елемент се отнася към някой от останалите в златно сечение, както и че цялата фасада се вписва в златен правоъгълник.
 
Принципът на златното сечение намира място и в съвременната архитектура. В средата на 20-ти век швейцарският архитект [[Льо Корбюзие]] създава скала от отношения за архитектурни форми на базата на златното сечение, наречена Modulor, която се използва широко в модерната архитектура.
 
Зрителното поле на човека било с отношение на ширината към дължината от 16/9, което е близо до златното сечение, и според някои източници е причина и за новия стандарт на широкоекранните резолюции - 16/9 <ref>{{Цитат уеб|уеб_адрес=http://www.screenonline.org.uk/tv/widescreen/widescreen1.html |заглавие=Widescreen TV 1. 'Pictures of the Wide Tomorrow' |достъп_дата=23.12.2008 |автор=Richard G. Elen |съавтори= |дата= |формат= |издател=screenonline.org.uk |език=английски }}</ref> .
-->
 
 
==Източници==
<references />
 
 
==Външни препратки==
* [http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA&feature=youtu.be Златното сечение в природата] - филмче в [[YouTube]]
 
[[Категория:Числа]]