Апроксимация: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Ред 4:
* [[теория на числата]], където класически пример е апроксимацията на [[ирационални числа]] с [[рационални числа|рационални]] (т.нар. [[Диофантово приближение]]).
==Апроксимиране на реалните числа с рационални==
''Теорема 1. Нека <math>x</math> е реално число, а <math>n</math> - естествено. Тогава съществуват естествени числа <math>p</math> и <math>q</math>, за които <math>1 \le q \le n</math> и <math>(1):</math>
:<math>|x-\frac{p}{q}|\le\frac{1}{nq}</math>.''
За произволно реално <math>y</math> да означим с <math>[y]</math> най-голямото измежду целите числа, <math>m \le y</math>. Така например <math>\left[ \frac{5}{2}\right]=2</math>, <math>\left[ -\frac{5}{2}\right]=-3</math>. От това определение става ясно, че <math>[y]</math> е цяло число и че <math>0\le y-[y]<1</math>.
Да разгледаме числата <math>kx-[kx], (k=0,1,2...,n)</math>. Те са <math>n+1</math> на брой и лежат в интервала <math>[0,1]</math>. Разделяме последния интервал на <math>n</math> равни подинтервала <math>\Delta_1, \Delta_2,...,\Delta_n,</math> всеки от които има дължина <math>\frac{1}{n}</math>. От принципа на Дирихле следва, че съществуват две различни <math>k</math> и <math>l</math> между <math>0</math> и <math>n</math>, за които числата <math>kx-[kx]</math> и <math>lx-[lx]</math> принадлежат на един и същи интервал <math>\Delta_\nu</math>. Следователно разстоянието между тях няма да надминава <math>\frac{1}{n}</math>, т.е.
:<math>|kx-[kx]-(lx-[lx])|\le\frac{1}{n},</math>
или което е същото <math>(2)</math>,
:<math>|(k-l)x-([kx]-[lx])|\le\frac{1}{n}.</math>
Тъй като <math>k \neq l</math>, без ограничение на общността може да се предположи, че <math>k>l</math>. Тъй като освен това <math>0 \le k \le n</math>, <math>0\le l\le n</math>, то <math>1\le k-l \le n</math>. Да положим <math>q=k-l</math> и <math>p=[kx]-[lx]</math>. Тогава <math>p</math> и <math>q</math> са цели числа и са в сила неравенствата <math>1\le q\le n</math>. При тези
От доказаното може да се получи като следствие и ''Теорема 2''.
| |||