Взаимно прости числа: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м Премахнати редакции на 77.78.9.177 (б.), към версия на EmausBot |
|||
Ред 7:
[[Функция на Ойлер|Функцията на Ойлер]] от положително цяло число ''n'' дава броя на целите числа между 1 и ''n''−1, които са взаимно прости с ''n''.
== Свойства ==
Има няколко условия, които са еквивалентни на това числата ''a'' и ''b'' да са взаимно прости:
*Съществуват цели числа ''x'' и ''y'', такива, че ''ax'' + ''by'' = 1 (виж [[Теорема на Безу]]).
*Цялото число ''b'' има [[реципрочност|реципрочен]] [[модул (аритметика)|модул]] ''a'': съществува цяло число ''y'', такова, че ''by'' ≡ 1 (mod ''a''). С други думи, ''b'' е [[неутрален елемент (теория nа пръстените)|неутрален елемент]] в [[пръстен (математика)|пръстен]]а '''Z'''/''a'''''Z''' от цели числа с модул ''a''.
Вследствие на това, ако ''a'' и ''b'' са взаимно прости и ''br'' ≡ ''bs'' (mod ''a''), то ''r'' ≡ ''s'<del>' (mod '</del>'a'') (тъй като можем да „делим на ''b''“, когато работим с модул ''a''). Освен това, ако ''a'' и ''b''<sub>1</sub> са взаимно прости и ''a'' и ''b''<sub>2</sub> са взаимно прости, то ''a'' и ''b''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub> са също взаимно прости (тъй като прозиведението на неутрални елементи е неутрален елемент).
Ако ''a'' и ''b'' са взаимно прости и ''a'' е делител на произведението ''bc'', то ''a'' е делител на ''c''. Това може да се разглежда като обобщение на [[Лема на Евклид|лемата на Евклид]], която твърди, че ако ''p'' е просто и ''p'' е делител на произведението ''bc'', то или ''p'' е делител на ''b'', или ''p'' е делител на ''c''.
Две цели числа ''a'' и ''b'' са взаимно прости тогава и само тогава, когато точката с координати (''a'', ''b'') в една [[декартова координатна система]] „се вижда“ от началото (0,0), в смисъл, че няма друга точка с цели координати на отсечката между началото и (''a'', ''b''
[[Вероятност]]та две произволно взети цели числа да са взаимно прости е 6/[[Пи|π]]<sup>2</sup>, което е около 60%.
| |||