Многообразие: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
увод и пример |
добавяне на дефиниция, понятие за размерност |
||
Ред 1:
[[Картинка:Triangle_on_globe.jpg|thumb|300px|Върху сфера, сумата на ъглите на един триъгълник не е равна на 180°. Сферата не е евклидово пространство. Локално, обаче, законите от евклидовата геометрия са добри приближения. Сумата от ъглите на малък триъгълник върху повърхността на земята е много близка до 180°. Сферата може да се представи като съвкупност от двумерни карти, следователно сферата е многообразие.]]
В [[математика]]та, '''многообразие''' е [[топологично пространство|пространство]] ,което "отблизо" прилича на пространствата описани в [[евклидова геометрия|евклидовата геометрия]], но което глобално може да има много по-сложна структура. (Евклидовите пространства, обаче, също са многообразия.)
В едномерните многообразия всяка точка има околност, която прилича на отсечка. Примери за едномерни многообразия са правата, [[окръжност]]та, или двойка окръжности. В двумерните многообразия околността на всяка точка прилича на [кръг]]. Пример за такива са равнината, повърхността на [[сфера]]та, повърхността на [[тор]]а. Размерността може и да е по-голяма, например [[пространство-време]]то в [[обща теория на относителността|общата теория на относителността]] е четиримерно многообразие.
Многообразията са важни обекти в математиката и [[физика]]та защото позволяват сложни пространства да се изразяват и изследват използвайки по-добре изучените свойства на свойствата на по-прости пространства.
Често се дефинират допълнителни структури върху многообразия. Примери за многообразия със допълнителна структура са [[диференцируемо многообразие|диференцируемите многообразия]], върху които може да се използва [[диференциално и интегрално смятане]], [[Риманово многообразие|римановите многообразия]] върху които могат да се дефинират понятията дължина и ъгъл, [[симплектично многообразие|симплектичните многообразия]] които служат за [[фазово пространство|фазови пространства]] в [[класическа механика|класическата механика]], и четиримерните [[Псевдориманово многообразие|псевдориманови многообразия]] които моделират [[пространтво-време|пространство-времето]] в [[обща теория на относителността|общата теория на относителността]]. ▼
▲Често се дефинират допълнителни структури върху многообразия. Примери за многообразия
<!-- The study of manifolds makes essential use of techniques from [[mathematical analysis]] and [[topology]].-->
Line 37 ⟶ 39:
[[Картинка:Conics and cubic.png|right|thumb|Фигура 3: Четири многообразия, образувани от алгебрични криви: <span style="color:#bc1e47">■</span> окръжности, <span style="color:#fec200">■</span> парабола, <span style="color:#0081cd">■</span> хипербола, <span style="color:#009246">■</span> кубика.]]
Многообразията не е нужно да са [[свързано пространство|свързани]] (състоящи се от едно парче): двойка отделни окръжности също е топологично многообразие. Не е и нужно те да са [[затворено множество|затворени]]: отсечка без краищата си е многообразие. Многообразията не е нужно да са ограничени: [[парабола]]та е
Обаче примери като две допиращи се окъжности, които образуват 8 не са многообразия, защото не може да се конструира задоволителна карта изпращаща околност на общата точка в отворен интервал. <!-- Който разбира това да го преведе (A different view is taken in [[algebraic geometry]], where [[complex number|complex]] points on the quartic curve ((''x'' − 1)² + ''y''² − 1)((''x'' + 1)² + ''y''² − 1) = 0, whose [[real number|real]] points alone form a pair of circles touching at the origin, are considered.) -->
Line 44 ⟶ 46:
Окръжността също притежава свойства, които позволяват тя да се разглежда като по-особен тип многообразие. По нея могат да се мерят растояния между точки: дължината на дъгата между две точки. Следователно тя е и ''[[риманово многообразие]]''.
== Математическа дефиниция ==
'''n-мерно многообразие''' е [[топологично пространство]] всяка точка на което има околност, [[хомеоморфизъм|хомеоморфна]] на n-мерно кълбо:
:<math>\mathbf{B}^n = \{ (x_1, x_2, ..., x_n) | x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 < 1 \}.</math>
Има много различни видове многообразия. Най-простите са [[топологично многообразие|топологичните многообразия]], които локално изглеждат като [[евклидово пространство|евклидови пространства]]. Всъщност горната дефиниция е дефиниция точно на понятието ''топологично многообразие''. Други типове многообразия имат допълнителна структура.
[[Категория:Геометрия]]
| |||