Имагинерна единица: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м кор. |
|||
Ред 27:
|-
|}</div>
В математиката, физиката и инженерните науки
Главното основание за това разширение е фактът, че не всяко [[полином| полиномиално]] уравнение <math>f(x)=0</math> има реални решения. Например, уравнението <math>x^2+1=0</math> няма реално решение (виж „Определение“ по-долу). Въпреки това, ако приемем комплексните числа за приемливи решения, всяко полиномиално уравнение <math>f(x)=0</math> има решение. (Виж [[затвореност]].)
Ред 54:
==''<math>i</math>'' и −''<math>i</math>''==
Доколкото е [[полином]] (многочлен) от втора степен, а [[дискриминанта|дискриминантата]] му е различно от нула (т. е.
Този резултат крие някои тънкости. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че въпреки че комплексното [[поле (алгебра)|поле]], определено като '''R'''[''X'']/ (''X''<sup>2</sup> + 1), (виж [[комплексно число]]) е [[еднозначен|еднозначно]] до степен на [[изоморфизъм]], то ''не е'' еднозначно до степен на ''еднозначен' изоморфизъм — съществуват точно 2 [[автоморфизъм|автоморфизма]] на '''R'''[''X'']/ (''X''<sup>2</sup> + 1), идентичността и автоморфизмът, изобразяващ ''X'' като −''X''. (Това не са единствените автоморфизми в полето '''C''', но са единствените, които съхраняват стойностите на всички реални числа фиксирани.) Виж [[комплексно число]], [[комплексно спрягане]], [[автоморфизъм]], и [[група на Галоа]].
Ред 75:
:<math> X^2 = -I \ </math> .
В този случай
Всички тези противоречия могат да бъдат решени чрез избор на по-строга дефиниция на [[комплексно число|комплексните числа]], и експлицитно ''избирайки'' едно от решенията на уравнението за имагинерна единица.
Ред 81:
== Прецизна употреба ==
Имагинерната единица понякога бива означавана като <math>\sqrt{-1}</math>; при всички случаи
:<math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1</math> ''(погрешно)''
Ред 89:
е валидно само за реални, неотрицателни стойности на<math>a</math> и <math>b</math>.
За да се избегнат подобни грешки, когато се извършват действия с комплексни числа, стратегията е никога да не се употребява отрицателно число под знака за квадратен корен. Вместо да се запише израз от вида <math>\sqrt{-7}</math> например, прецизният запис налага да запишем <math>i\sqrt{7}</math>. Това е и причината, поради която е въведена имагинерната единица.
== Корен квадратен от имагинерна единица ==
Може да предположим, че ще се наложи да разширим множеството на имагинерните числа, за да въведем квадратния корен от ''i''.
:<math> \pm \sqrt{i} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) </math>
Ред 139:
В случая ''n'' е произволно избрано цяло число.
Оттук следва
:<math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>.
Ред 161:
===Пример===
Заместването на <math>x = \pi/2 - 2N\pi,</math>, където ''N'' е произволно избрано цяло число, дава
:<math>e^{i(\pi/2 - 2N\pi)} = i\,</math>
Ред 177:
:<math>i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi N}\,</math>
където ''N'' е произволно цяло число. Тази
==Действия с ''i''==
Много математически операции, които магат да бъдат извършени с реалните числа, могат да бъдат извършени също с <math>i</math>, като повдигане на степен, коренуване,
Число, подигнато на степен <math>ni</math>, дава:
:<math> \!\ x^{ni} = \cos(\ln(x^n)) + i \sin(\ln(x^n)) </math>
Ред 205:
== Алтернативни означения ==
*В електроинженерните науки и свързаните с тях области
*По-внимателен подход изискват и някои учебници, където по дефиниция ''j'' = −''i'', в часност при случаите с разпространение на вълна (напр. плоска вълна, разпространяваща се надясно в направление x <math>e^{ i (kx - \omega t)} = e^{ j (\omega t-kx)} \,</math>).
*Някои текстове използват гръцката буква йота (
== Бележки ==
|