Имагинерна единица: Разлика между версии

Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м кор.
Ред 27:
|-
|}</div>
В математиката, физиката и инженерните науки, '''имагинерната единица''' се означава с <math>i\,</math> &nbsp; или латинското <math>j\,</math>&nbsp; или гръцката буква ( &iota; ) (Виж [[#Алтернативни означения|алтернативните означения]] по-долу). Тя позволява системата на [[реални числа|реалните числа]], <math>\mathbb{R},</math> да бъде разширена до системата на [[комплексни числа| комплексните числа]], <math>\mathbb{C}.</math>&nbsp; Точната дефиниция на термина зависи от специфичния метод на разширение.
 
Главното основание за това разширение е фактът, че не всяко [[полином| полиномиално]] уравнение <math>f(x)=0</math> има реални решения. Например, уравнението <math>x^2+1=0</math> няма реално решение (виж „Определение“ по-долу). Въпреки това, ако приемем комплексните числа за приемливи решения, всяко полиномиално уравнение <math>f(x)=0</math> има решение. (Виж [[затвореност]].)
Ред 54:
==''<math>i</math>'' и &minus;''<math>i</math>''==
 
Доколкото е [[полином]] (многочлен) от втора степен, а [[дискриминанта|дискриминантата]] му е различно от нула (т. е., няма повтарящи се корени), горното уравнение има ''две'' различни решения, които са еднакво валидни, а в конкретния случай и взаимно инверсни както адитивно, така и мултипликативно. По-точно, ако едното решение на уравнението сме означили с <math>i</math>, стойността −<math>i</math> (която не е равна на <math>i</math>) също се явява негово решение. Доколкото уравнението е единственото определение на <math>i</math>, излиза, че определението ни е двусмислено (по точно, не [[добре дефинирано]]). Въпреки това, ако изберем едното от решенията за „положително<math>i</math>", ни е не получаваме противоречещипротиворечащи си един на друг резултати. Това е така, защото въпреки че −<math>i</math> и <math>i</math> не се ''количествено'' еквивалентни (те ''са'' отрицателни едно по отношение на друго), няма ''качествена'' разлика между <math>i</math> и −<math>i</math> (което не може да бъде казано за −1 и +1). Двете имагинерни единици имат еднакво основание да бъдетбъдат числото, чийто квадрат е −1. Ако всички публикации и учебници по математика, свързани с имагинерните или комплексните числа, бъдат пренаписани, като на всяко място, където се появява −<math>i</math>, се замести с +<math>i</math> (и следователно, на всяко място, където се появява −<math>i</math>, се замести с −(−<math>i</math>) = +<math>i</math>), всички математически факти и теореми ще продължат да бъдат еднакво валидни. Разграничаването на двата корена <math>x</math> в уравнението <math>x^2 + 1 = 0</math> с означаването на единия от тях като "положителен" е артефакт изключително на нотацията; Заза нито един от двата корена не може да се каже, че e по-първостепенен или фундаментален от другия.
 
Този резултат крие някои тънкости. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че въпреки че комплексното [[поле (алгебра)|поле]], определено като '''R'''[''X'']/ (''X''<sup>2</sup> + 1), (виж [[комплексно число]]) е [[еднозначен|еднозначно]] до степен на [[изоморфизъм]], то ''не е'' еднозначно до степен на ''еднозначен' изоморфизъм &mdash; съществуват точно 2 [[автоморфизъм|автоморфизма]] на '''R'''[''X'']/ (''X''<sup>2</sup> + 1), идентичността и автоморфизмът, изобразяващ ''X'' като −''X''. (Това не са единствените автоморфизми в полето '''C''', но са единствените, които съхраняват стойностите на всички реални числа фиксирани.) Виж [[комплексно число]], [[комплексно спрягане]], [[автоморфизъм]], и [[група на Галоа]].
Ред 75:
:<math> X^2 = -I \ </math> .
 
В този случай, двусмисленият резултат произтича от геометричния избор, в коя "посока" около [[единична окръжност| единичната окръжност]] е "положителната" ротация. По-прецизното обяснение изисква да кажем, че [[група|групата]] на автоморфизъм на SO (2, '''R''') има точно 2 елемента &mdash; идентичността и автоморфизмът, който преобразува ротацията по часовниковата стрелка в ротация срещу часовниковата стрелка, и обратно.
 
Всички тези противоречия могат да бъдат решени чрез избор на по-строга дефиниция на [[комплексно число|комплексните числа]], и експлицитно ''избирайки'' едно от решенията на уравнението за имагинерна единица.
Ред 81:
== Прецизна употреба ==
 
Имагинерната единица понякога бива означавана като <math>\sqrt{-1}</math>; при всички случаи, с голямо внимание трябва да се подхожда голямо внимание при преобразуване на формули, които съдържат радикали. Нотацията е запазена единствено за [[квадратен корен|квадратния корен]] като функция, дефинирана ''единствено'' за реални числа <math>x</math> ≥ 0. Опитът да се приложат правилата за преобразуване на математически изрази, които съдържат реалната функция корен квадратен, към математически изрази, които съдържат комплексната функция корен квадратен, ще доведе до погрешен резултат:
 
:<math>-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;''(погрешно)''
Ред 89:
е валидно само за реални, неотрицателни стойности на<math>a</math> и <math>b</math>.
 
За да се избегнат подобни грешки, когато се извършват действия с комплексни числа, стратегията е никога да не се употребява отрицателно число под знака за квадратен корен. Вместо да се запише израз от вида <math>\sqrt{-7}</math> например, прецизният запис налага да запишем <math>i\sqrt{7}</math>. Това е и причината, поради която е въведена имагинерната единица.
 
== Корен квадратен от имагинерна единица ==
Може да предположим, че ще се наложи да разширим множеството на имагинерните числа, за да въведем квадратния корен от ''i''. товаТова обаче не е необходимо и той може да бъде записан като което и да е от две комплексни числа <ref name="qcorner">[http://www.math.utoronto.ca/mathnet/questionCorner/rootofi.html На колко е равен квадратният корен от i?(en)] URL актуализиран на 15 декември 2010.</ref>:
 
:<math> \pm \sqrt{i} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) </math>
Ред 139:
 
В случая ''n'' е произволно избрано цяло число.
Оттук следва изводаизводът, че
:<math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>.
 
Ред 161:
===Пример===
 
Заместването на <math>x = \pi/2 - 2N\pi,</math>, където ''N'' е произволно избрано цяло число, дава
 
:<math>e^{i(\pi/2 - 2N\pi)} = i\,</math>
Ред 177:
:<math>i^i = e^{-\pi/2 + 2\pi N}\,</math>
 
където ''N'' е произволно цяло число. Тази реалнореална стойност, въпреки че е реална, не е еднозначно определена. Причината за това се съдържа във факта, че [[комплексен логаритъм|комплексният логаритъм]] е функция, която има много значения.
 
==Действия с ''i''==
 
Много математически операции, които магат да бъдат извършени с реалните числа, могат да бъдат извършени също с <math>i</math>, като повдигане на степен, коренуване, логаритмумавелогаритмуване и тригонометрични функции .
 
Число, подигнато на степен <math>ni</math>, дава:
 
:<math> \!\ x^{ni} = \cos(\ln(x^n)) + i \sin(\ln(x^n)) </math>
Ред 205:
== Алтернативни означения ==
 
*В електроинженерните науки и свързаните с тях области, имагинерната единица често се записва като <math>j\,</math> за да се избегне объркване с [[електрически ток| електрическия ток]] като функция от времето, по традиция означаван с <math>i(t)\,</math> или просто <math>i.\,</math> &nbsp; Програмният език [[Python]] също използва ''j'' за означаване на имагинерната единица, докато в [[Matlab]] и двете означения ''i'' и ''j'' са свързани с имагинерната единица.
*По-внимателен подход изискват и някои учебници, където по дефиниция ''j'' = −''i'', в часност при случаите с разпространение на вълна (напр. плоска вълна, разпространяваща се надясно в направление x <math>e^{ i (kx - \omega t)} = e^{ j (\omega t-kx)} \,</math>).
*Някои текстове използват гръцката буква йота ( &iota; ) за означаване на имагинерната единиза с цел да се избегне объркване.
 
== Бележки ==