Координатна система: Разлика между версии

Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Addbot (беседа | приноси)
м Робот: Преместване на 68 междуезикови препратки към Уикиданни, в d:q11210.
мРедакция без резюме
Ред 1:
'''Координата''' (от лат. co + ordinatus, "нареден"„нареден“, "определен"„определен“) - [[реално число]] или числа, с чиято помощ се определя положението на точка върху права, в равнината или в пространството. Понятието се обобщава както за случая на [[Многомерна геометрия|многомерни пространства]], така и за определяне на положенията на обекти, различни от [[Точка (геометрия)|точки]].
 
== Определения ==
Ред 21:
 
[[Image:Affine-vs-cartesian.png|right|thumb|300px|Разликата между афинна и декартова координатна система]]
Нека в равнината е избрана произволна точка '''O''', която служи за начало на два неколинеарни вектора '''e<sub>1</sub>'''<sup>→</sup> и '''e<sub>2</sub>'''<sup>→</sup>. Така построената система наричаме '''афинна координатна система''', а правите '''Oe<sub>1</sub>''' и '''Oe<sub>2</sub>''' - ''координатни оси''. Тогава за всяка точка '''M''' от равнината на системата равенството '''OM'''<sup>→</sup> = ''x'''''e<sub>1</sub>''' + ''y'''''e<sub>2</sub>''' задава взаимно еднозначно съответствие на множеството от точките '''M''' върху множеството на наредените двойки (''x'', ''y'').
Още се казва, че '''M''' има '''афинни координати (''x'', ''y'')''' спрямо системата '''Oe<sub>1</sub>e<sub>2</sub>''' и се бележи с '''M(''x'', ''y'')'''.
Координатите ''x'', ''y'' са алгебрични проекции на вектора '''OM'''<sup>→</sup> върху координатните оси, измерени съответно с координатните вектори. Афинната координатна система '''Oe<sub>1</sub>e<sub>2</sub>''' се означава още и с '''Oxy'''.
Ред 50:
Тези формули са валидни, когато началото на декартовата координатна система в равнината съвпадне с полюса '''O''' и когато положителната посока на оста '''x'''<sup>→</sup> съвпадне с положителната посока на лъча '''o'''<sup>→</sup>.
 
В конкретни задачи полярните координати са използвани в неявен вид от Албрехт Дюрер (1525), [[Исак Нютон]] и [[Якоб Бернули]] (1891). Първи [[Леонард Ойлер]] през 1748 г. стига до идеята, че положението на точка в равнината може да се определи само чрез ъгъл и разстояние. Във втората част на неговия труд "Analysis„Analysis infinitorum"infinitorum“ се появяват формулите за преобразуване на полярни в декартови координати. Самите термини "полюс"„полюс“ и "полярни„полярни координати"координати“ навлизат едва през XIX в. с работите на [[Гаспар Монж]] и школата му. Полярният ъгъл '''Θ''' така и не получава устойчиво название: наричан е "аномалия"„аномалия“, "амплитуда"„амплитуда“, "азимут"„азимут“ и дори "аргумент"„аргумент“.
 
=== Сферични координати ===
Ред 71:
'''Дефиниция 2, практическа:''' В разглеждана подходящо ориентирана (например хоризонтално) равнина се избират точка (полюс) и вектор, лежащ в тази равнина, с начало полюса. Избира се положителна посока на въртене в равнината спрямо вектора. Едната страна на равнината се приема за положителна (северна). Координатите на всяка точка в така полученото пространство се определят чрез 1) дължината на отсечката между полюса и точката, 2) ъгъла между проекцията на отсечката в хоризонталната равнина и вектора и 3) ъгъла между тази отсечка и нейната проекция върху равнината.
 
За практически използуваните системи освен горните, принципно необходими неща се уговарят и мерните единици за разстояние и ъгъл, както и спецификата им на отчитане. Така се получават [[астрономическа координатна система|астрономическа]], [[геодезическа координатна система|геодезическа]] и две леко различаващи се&nbsp;— немска и руска [[артилерийска координатна система|артилерийски координатни системи]], все варианти на сферичната координатната система. Линейната координата (важи поне за артилерийските) се нарича ''разстояние'', ъгълът, мерен по равнината - ''азимут'', а този спрямо на нея - ''ъгъл на възвишение''.
 
[[Географски координати|Географските координати]] също са вариант на сферичните координати. Полюсът е в центъра на Земята, екваториалната равнина е през екватора, нулевата посока в тази равнина минава през Гринуич. Ъглите се мерят в градуси, минути и секунди в 2-те посоки, като плюсът и минусът имат словесни наименования&nbsp;— източна и западна дължина, северна и южна ширина. Разстоянието се мери в метри, но не от центъра на Земята, а от морското равнище, като знаците пак имат словесни наименования&nbsp;— надморска височина и дълбочина.
Ред 99:
* цилиндричната координата '''h''' на '''M''' е равна на дължината на проекцията от точка '''M''' към равнината.
 
Този вид координати са наречени ''цилиндрични'', понеже '''r''' играе ролята на радиус на цилиндър, а '''h''' - на неговата височина. Цилиндричните се различават от сферичните координати в това, че те се състоят от два скалара и един ъгъл, а сферичните&nbsp;— от един скалар и два ъгъла.
 
Формулите за трансформация на цилиндрични координати към декартови и обратно са следните:
Ред 113:
== История ==
Потребността от използване на координати се появява под различни форми в [[география]]та, [[астрономия]]та и [[математика]]та още във [[Вавилония]] и [[Древна Гърция]]. Познатите ни днес термини за координатните оси обаче започват да се използват със съвременното си значение едва през XVII в.
През XIV в. френският математик [[Никола Орем]] е строил графики, използвайки равнинни координати, които наричал ''"дължина"„дължина“'' и ''"широчина"„широчина“'' в смисъла на ''абсциса'' и ''ордината''.
 
Терминът '''абсциса''' (abscissa) се употребявал широко в латинските преводи от гръцки на математически трудове. Смисълът, който обаче е бил влаган в термина, било "отсечка"„отсечка“. Тази практика се запазва за последно в трудовете на [[Бонавентура Кавалиери]] от 1635 г. През 1675 г. [[Готфрид Лайбниц]] налага новия прочит на термина абсциса като първа ос на координатната система.
Аполоний (ок. 260-170 г.пр.н.е.) нарича успоредните хорди в окръжността "линии„линии прекарани поред"поред“, като превежда словосъчетанието от гръцки на латински като "ordinatum„ordinatum applicata"applicata“. Оттук произхождат термините ''ордината'' и ''апликата'', като впоследствие изразът се разпада и двете понятия започват да се употребяват самостоятелно в контекста на сечения на кръга.
 
Думата '''ордината''' в съвременния и&#768; смисъл като втора координата на точка е използвана за първи път от Лайбниц (1694 г.). Приблизително по това време той въвежда и самия термин координата, като по този начин подчертава равноправието на абсцисата и ординатата.
 
Малко популярната дума '''апликата''' означава третата координатна ос, когато координатната система е пространствена.
 
== Източници ==
* ''"Лексикон„Лексикон Математика"Математика“'', Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, Абагар Холдинг, София, 1995.
* ''"Математически„Математически термини"термини“'', Н. В. Александрова, ДИ "Наука„Наука и изкуство"изкуство“, София, 1989.
* ''"Физико-математическа и техническа енциклопедия'', т. 2, Издателство на БАН, София, 2000.