Разлика между версии на „Площ“

7 байта изтрити ,  преди 7 години
м
редакция без резюме
м (Bot: Migrating 116 interwiki links, now provided by Wikidata on d:q11500 (translate me))
м
Площта на дадена фигура може да бъде определена, като се сравни с [[квадрат]] с предварително зададен размер. В [[Международна система единици|Международната система единици]] площта се измерва в [[Квадратен метър|квадратни метри]] (m²) - площта на квадрат, чиито страни имат дължина 1&nbsp;m.<ref>{{cite web | publisher = BIPM | year = 2011 | url = http://www.bipm.org/en/CGPM/db/11/12/ | title = Resolution 12 of the 11th meeting of the CGPM (1960) | work = bipm.org | accessdate = 30 септември 2011 | lang = en}}</ref> Фигура с площ 3 квадратни метра би имала площта на три такива квадрата. В [[математика]]та площта е [[безразмерна величина]], като за единица се използва [[Единичен квадрат|единичния квадрат]], квадрат с дължина на страните единица.
 
Площта на основните фигури, като [[Триъгълник|триъгълници]], [[Правоъгълник|правоъгълници]] и [[кръг]]ове, обикновено се изчислява с помощта на няколко широко известни [[Формула|формули]]. Площта на произволен многоъгълник може да бъде определена чрез същите формули, като той бъде разделен на по-прости фигури, обикновено триъгълници.<ref name="bkos">{{cite book | last = De Berg | first = Mark | coauthors = Marc van Kreveld, Mark Overmars, Otfried Schwarzkopf | year = 2000 | title = Computational Geometry | publisher = Springer-Verlag | edition = 2nd revised | isbn = 3-540-65620-0 | pages = 45-61 | lang = en}}</ref> За изчисляването на площта на по-сложни фигури с криволинейни граници обикновено са необходими методите на [[Математически анализ|математическия анализ]]. В действителност задачата за определянето на площта на равнинни фигури е сред основните мотиви за първоначалното развитие на този дял на математиката.<ref>{{cite book | first = Carl B | last = Boyer | title = AThe History of the Calculus and Its Conceptual Development | publisher = Dover | year = 1959 | isbn = 486606094978-0486605098 | lang = en}}</ref>
 
Площта на граничната повърхнина на триизмерни тела, като [[сфера]], [[конус]] или [[цилиндър]], се нарича [[околна повърхнина]]. Формули за околните повърхнини на прости тела са известни още от Античността, но изчисляването им за по-сложни обекти също се извършва с аналитични методи.
=== Правоъгълници ===
[[Image:RectangleLengthWidth.svg|thumb|right|180px|Площта на правоъгълника е &nbsp;{{math|''lw''}}.]]
Най-основната формула за площ (или лице на фигура) е тази за площ на [[правоъгълник]]. Ако дължинататадължината му е {{math|''l''}} и ширината {{math|''w''}}, формулата за площта е
:{{math|''A'' {{=}} ''lw''}}
С други думи, площта на правоъгълника е [[произведение]]то на дължината и ширината му. Площта на [[квадрат]]а е квадратът на страната му. Ако означим страната му с {{math|''s''}} тогава площта му е:
:{{math|''A'' {{=}} ''s''<sup>2</sup>}}
 
Тази формула служи за дефиниция или [[аксиома]] и произхожда от основните свойства на понятието площ. От друга страна, ако предположим, че геометрията идва преди аритметиката, тя може да послужи за дефиниция на произведението на две числа.
 
[[Image:ParallelogramArea.svg|thumb|180px|Фигури с еднаква площ.]]
Повечето други формули се извеждат на базата на разделяне на всяка фигура на по-прости фигури, намиране на тахнататяхната площ и събиране на отделните площи. Така например всеки [[успоредник]] може да се раздели на [[трапец]] и правоъгълен триъгълник. Ако триъгълникът бъде преместен от другата страна, се получава правоъгълник. Това показва, че лицето на успоредника се намира по аналогичен начин.
:{{math|''A'' {{=}} ''bh''}}
:където b е основата, а h височината.
Същият успоредник може да се раздели и на два еднакви триъгълника, по [[диагонал]]а, като лицето на всеки един от тях е половината от лицето на успоредника:
:{{math|''A'' {{=}} ''(1/2)bh''}}
Подобни аргументи могат да се ползват за да се намерят формули за лицето на [[ромб]], трапец и други по-сложни фигури.
 
[[Файл:CircleArea.svg|мини|ляво|Метод за намиране приближено лицето на един кръг]]
Формулата за лице на [[кръг]] се базира на подобен модел. Ако имаме кръг с радиус {{math|''r''}}, е възможно да се раздели на части, сектори, както е показано на фигурата. Всеки сектор е приблизително с формата на триъгълник и те могат да се пренаредят така, че да образуват успоредник (с добро приближение). Височината на успоредника е {{math|''r''}}, а основата [[обиколка]]та на кръга или {{math|''πr''}}. По този начин лицето е {{math|''r'' × ''πr''}} или {{math|''πr''<sup>2</sup>}}:
:{{math|''A'' {{=}} ''πr''<sup>2</sup>}}
Въпреки че този път разделянето на отделни фигури е приблизително, грешката е много малка ако кръгът се раздели на все по-малки и по-малки триъгълници.
 
Този принцип всъщност е приложението на елементарните идеи на интегралното и диференциално смятане. Използвайки съвременни методи, лицето на кръга може да се намери от формулата:
:<math>\!SA=\pi r(r+l)</math>
 
=== На цилиндър ===
Лицето на пълната повърхнина на прав [[цилиндър]] се дава от:
:<math>S\,</math><sub>1</sub> <math>= 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r ( r + h )\,</math>,
 
а лицето само на околната повърхинаповърхнина е
:<math>S = 2 \pi r h\,</math>
 
=== На пирамида ===
Лицето на околната повърхнина на правилна [[пирамида]] се намира по формулата:
:<math>A= B + \frac{PL}{2}</math>
 
където B е лицето на основата, P е [[периметър]]ът на основата и L е:
:<math>L= \sqrt{h^2+r^2}</math>
 
където h е височината на пирамидата, а r е [[радиус]]ът на вписаната [[окръжност]].
 
=== На сфера ===
Повърхността на [[сфера]] не може да бъде направена плоска, както тази на цилиндър например, поради Гаусовата кривина. Формулата за първи път е изведена от [[Архимед]].
:{{math|''A'' {{=}} 4''πr''<sup>2</sup>}}
 
Където {{math|''r''}} е радиусът на сферата.