Евклидово пространство: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м →Формална дефиниция: промяна на нотацията |
Мотивация. Норма и Ъгъл |
||
Ред 11:
където '''u''', '''v''', '''w''' ∈ ''V'', а ''λ'' е произволно реално число.
== Мотивация. Норма и ъгъл ==
Причината за въвеждането на евклидовите пространства е, че в обикновено линейно пространство не е възможно еднозначно да се дефинират понятията ''дължина'' и ''ъгъл'' така, че да имат познатите свойства от двумерното и тримерното пространство. Евклидовите пространства ни позволяват да дефинираме тези понятия за произволно голяма размерност.
В равнината [[скаларно произведение на два вектора|скаларното произведение]] на [[вектор|векторите]] '''v''' и '''w''' се дефинира чрез формулата:
:<math> \langle v,w \rangle = \|v\|\|w\|\cos{\alpha},</math>
където чрез <math>\|v\|</math> се отбелязва дължината на вектора '''v''', наричана още ''[[норма]]'', а α е ъгъла между двата вектора. По горната дефиниция множеството на векторите в равнината заедно с това скаларно произведение е евклидово пространство. От формулата могат лесно да се изведат следните зависимости
# <math> \|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle} </math> и
# <math> cos\alpha = \frac{\langle v, w \rangle}{\sqrt{\langle v, v \rangle\langle w, w \rangle}} </math>, ако <math> v \neq 0 </math> и <math> w \neq 0</math>.
Десните части на горните две формули могат да се пресмятат не само в равнината, но и във всяко евклидово пространство. Това позволява да се дефинират понятията ''норма на вектор'' чрез формула 1. и ''ъгъл между два вектора'' като [[аркускосинус]]а на стойността, която се получава по формула 2. Със така въведената норма, евклидовото пространство става [[нормирано пространство|нормирано]].
Тъй като за всяко линейно пространство скаларно произведение може да се дефинира по различни начини, то и дължината на векторите може да бъде различна. Всъщност за всеки фиксиран вектор може да се избере скаларно произведение така, че нормата му да е произволно положително число.
== Примери ==
== История ==
== Примери ==
== Литература ==
| |||