Цяло число: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Редакция без резюме |
Редакция без резюме |
||
Ред 1:
'''Целите числа''' са числова област '''Z''', която се получава чрез разширяване на множеството на [[естествено число|естествените числа]] с изискването операцията изваждане ''a'' - ''b'' (като обратна операция на събирането) да може да се извършва в него еднозначно за всяка [[наредена двойка]] естествени числа (а,b). Освен естествените числа '''Z''' съдържа и отрицателните цели числа -1, -2, -3,..., т. е.
: '''Z''' = { ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}.
Отрицателните числа са въведени в математическа употреба от Михаел Щифел (M. Stiffel, 1487—1567) през [[1544]] г. и от Никола Шюке (N. Chuquet, 1445 — 1500).
Сумата, разликата и произведението две цели числа също са цели числа. Z е ''безкрайно'' множество.
== Основни свойства на събирането и умножаването на цели числа ==
* Асоциативен закон относно събирането и умножаването: a + (b + c) = (a + b) + c, a (b c) = (a b) c.
* Комутативен закон относно събирането и умножаването: a + b = b + a, a b = b a.
* Съществуване на неутрален елемент: a + 0 = a, a . 1 = a.
* Съществуване на противоположен елемент -a: a + (-a) = 0.
* Дистрибутивен закон на умножаването относно събирането: a(b + c) = ab + ac.
На езика на абстрактната алгебра първите пет от изброените свойства на събирането на цели числа показват, че '''Z''' е абелова група относно бинарната операция събиране и следователно е и циклична група, тъй като всеки ненулев елемент на '''Z''' може да се запише като крайна сума 1 + 1 + = ... + 1 или (-1) + (-1) + ... + (-1). Фактически '''Z''' е единствената безкрайна циклична група относно събирането поради това, че всяка безкрайна циклична група е изоморфна на групата {'''Z''', +}.
'''Z''' обаче не е група относно умножението, а също не е и поле. Най-малкото поле, съдържащо целите числа , е множеството на рационалните числа '''Q'''.
Изброените свойства на целите числа показват, че '''Z''' е комутативен ''пръстен'' с единица относно събирането и умножаването.
Обикновеното '''деление''' не е дефинирано в множеството на целите числа, но е дефинирано т. нар. '''деление с остатък''': За всеки цели числа a и b, b ≠ 0, съществува единствена двойка цели числа
q и r, за която a = bq + r и 0 ≤ r < |b|. Тук а е делимо, b - делител, а r - остатък. На тази операция се основава алгоритъмът на [[Евклид]] за намиране на [[най-голям общ делител]] на две цели числа.
== Теоретико-множествени свойства ==
'''Z''' е безкрайно, '''наредено''' линейно множество, т. е.
: ... < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...
Едно цяло число е '''положително''', ако е по-голямо от нулата и '''отрицателно''', ако е по-малко от нулата. По дефиниция нулата не е нито положително, нито отрицателно число.
Наредбата на целите числа е свързана с алгебричните операции по следния начин:
За произволни цели числа ''a'',''b'', ''c'' са в сила неравенствата:
* Ако a < b и c < d, то a + c < b + d.
* Ако a > b и c > 0, то a c > b c. (Лесно се доказва, че при c < 0 имаме a c < b c.)
Оттук следва, че Z с горната наредба е '''нареден пръстен'''.
== Източник ==
Целое число - статия в Уикипедия на руски език [13 януари 2008 г.].
== Вижте също ==
[[Естествено число]]
[[Реално число]]
[[Категория:Цели числа]]
| |||