Производна: Разлика между версии

11 340 байтове добавени ,  преди 8 години
м
Премахнати редакции на Dimcheto123 (б.), към версия на Addbot
(Интегралът има производна два пъти по-голама от ММСа на математическата международна система.)
м (Премахнати редакции на Dimcheto123 (б.), към версия на Addbot)
[[File:Tangent to a curve.svg|thumb|200px|width=150|length=150|Графиката на функция (в черно) и [[допирателна|допирателната]] (в червено). [[Диференчно частно|Диференчното частно]] на допирателната е равно на производната в дадената точка.]]
Производна е математическа функция на косиносувата основа разделено на котангесът по двадесет и пет.
 
'''Производна на функция''' е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира скоростта на изменение на функцията. Функция, която има производна, се нарича '''диференцируема'''. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц независимо един от друг.
 
==Определение==
 
Нека функцията ''y'' = ''f''(''x'') е дефинирана в точка ''x''<sub>0</sub> от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се &Delta;x) в този случай се определя като x&minus;x<sub>0</sub>, а нарастването на функцията (&Delta;y) — като ''f(x)&minus;f(x<sub>0</sub>)''. Тогава, ако съществува [[граница (математика)|граница]] <math>\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}</math>, то тя се нарича '''производна''' на функцията ''f''(''x'') в точката ''x''<sub>0</sub>'''.
 
Частното <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> се нарича '''диференчно частно'''.
 
С други думи, производна на функцията ''f(x'') за дадена стойност (''x''<sub>0</sub>) се нарича границата (ако съществува) на отношението на нарастването на функцията и нарастването на аргумента ''х'', когато нарастването на аргумента клони към 0 <math>{(\Delta x\rightarrow 0})</math>.
 
Функция, която има производна в точка ''x'', се нарича диференцируема в точка ''x''. Математическото действие, с което се намира производната на една функция, се нарича ''диференциране''.
 
==Означения при диференциране==
 
Съществуват различни начини за означаване на производните при диференциране.
 
===Означение на [[Готфрид_Лайбниц|Лайбниц]]===
 
Означението за производна представено от [[Готфрид Лайбниц]] е едно от първите. То все още се използва когато уравнението ''y''&nbsp;=&nbsp;ƒ(''x'') се разглежда като функционална зависимост между зависимите и независимете променливи. Първата производна се означава:
 
:<math> \frac{dy}{dx} </math> (произнася се "де игрек де хикс")
 
===Означение на [[Жозеф_Луи_Лагранж|Лагранж]]===
Една от най-разпространените означения при диференциране е дело на [[Жозеф Луи Лагранж]]. Първата производна се означава:
 
:<math>f'(x)\,</math> ( произнася се "еф прим хикс")
 
===Означение на [[Исак_Нютон|Нютон]]===
 
:<math>\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)</math>, <math>\ddot{x} = x''(t)</math>
 
===Означение на [[Ойлер]]===
 
:<math>D_x f(x) \;</math> - за първа производна,
: <math>{D_x}^2 f(x) \;</math> - за втора производна, и
: <math>{D_x}^n f(x) \;</math> - за ''n''-та производна при ''n'' > 1
 
== Изчисляване на производни==
 
=== Правила за диференциране ===
 
# Ако k е константа, то (ku)&prime; = ku&prime;.
# (u+v)&prime; = u&prime;+v&prime;. Доказателство: &Delta;(u+v) = u(x+&Delta;x)+v(x+&Delta;x)&minus;u(x)&minus;v(x) = (u(x+&Delta;x)&minus;u(x))+(v(x+&Delta;x)&minus;v(x)) = &Delta;u+&Delta;v.
# (u &middot; v)&prime; = u&prime; &middot; v + u &middot; v&prime;. Доказателство: &Delta;(u &middot; v) &rarr; u(x + &Delta;x) &middot; v(x + &Delta;x) - u(x) &middot; v(x) &rarr; (u(x) + &Delta;u) &middot; (v(x) + &Delta;v) - u(x) &middot; v(x) &rarr; u(x) &middot; v(x) + u(x) &middot; &Delta;v + v(x) &middot; &Delta;u + &Delta;u &middot; &Delta;v - u(x) &middot; v(x) &rarr; u(x) &middot; &Delta;v + v(x) &middot; &Delta;u + &Delta;u &middot; &Delta;v. (границата е равна на u&prime; &middot; v + u &middot; v&prime;).
#<math>(h(g(x)))' = h'[g(x)] g'(x)</math>
# (uv)<sup>(n)</sup>=<math>\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}</math> — [[формула на Лайбниц]].
# (u/v)&prime; = (u&prime;v&minus;uv&prime;)/v<sup>2</sup>. Доказателство: &Delta;(u/v) = u( x + &Delta;x ) / v( x + &Delta;x ) &minus; u( x ) / v( x ) = ( u( x + &Delta;x )v( x ) &minus; u( x )v( x + &Delta;x ) ) / ( v( x )v( x + &Delta;x ) ) =
( u( x + &Delta;x )v( x ) &minus; u( x )v( x ) &minus; u( x )v( x + &Delta;x ) + u( x )v( x ) ) / ( v( x )v( x + &Delta;x) ) =
( &Delta;u( x )v( x ) - u( x )&Delta;v( x ) ) / ( v( x )v( x + &Delta;x ) ) , границата е равна на (u&prime;v&minus;uv&prime;)/v<sup>2</sup>.
 
=== Производни на някои функции ===
{{Основна|Таблица на производни}}
# <math>const' = 0</math> ([[константа]]), защото нарастването на всяка константа е 0.
# (''a''<sup>x</sup>)&prime; = a<sup>x</sup> ln a , в частност, (e<sup>x</sup>)&prime; = e<sup>x</sup>
# (log<sub>a</sub>x)&prime; = 1/(x ln a) ([[логаритъм]]), в частност, (ln x)&prime; = 1/x
# (x<sup>a</sup>)&prime; = ax<sup>a&minus;1</sup>
# <math>(\sqrt{x})^' = \frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
# (sin x)&prime; = cos x ([[синус]])
# (cos x)&prime; = &minus;sin x ([[косинус]])
# (tg x)&prime; = <math>\frac{1}{\cos^{2}x}</math> ([[тангенс]])
# (cоtg x)&prime; = <math>-\frac{1}{\sin^{2}x}</math> ([[котангенс]])
# (arcsin x)&prime; = <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}</math> ([[аркуссинус]])
# (arccos x)&prime; = <math>-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}</math> ([[аркускосинус]])
# (arctg x)&prime; = <math>\frac{1}{1+x^{2}}</math> ([[аркустангенс]])
# (arcctg x)&prime; = <math>-\frac{1}{1+x^{2}}</math> ([[аркускотангенс]])
 
===Примерно пресмятане===
 
Производната на функцията
 
: <math>f(x) = x^4 + \sin (x^2) - \ln(x) e^x + 7\,</math>
 
е равна на:
 
: <math>
\begin{align}
f'(x) &= 4 x^{(4-1)}+ \frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2) - \frac{d\left(\ln {x}\right)}{dx} e^x - \ln{x} \frac{d\left(e^x\right)}{dx} + 0 \\
&= 4x^3 + 2x\cos (x^2) - \frac{1}{x} e^x - \ln(x) e^x.
\end{align}
</math>
 
== Смисъл на понятието ==
Ако разгледаме скоростта на движение на едно тяло или дебита на една водна тръба или какъвто и да е друг показател, можем да изчислим средното изменение на показателя за определен интервал от време. Ако разгледаме едно тяло и крайните точки на времевия интервал са ''t'' и (''t''<sub>0</sub>), то средната скорост на тялото ще е изменението в изминатия път към (''t''- ''t''<sub>0</sub>) (''v'' = ''s/t''). Колкото по-малък е този времеви интервал, толкова по-близо ще сме до дефиниране на скоростта в момента ''t''<sub>0</sub>.
 
== Геометричен и физически смисъл на производната ==
=== Геометрично представяне на понятието===
Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ù в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос.
 
=== Скорост на изменението на функцията път ===
Нека <math>s = s(t)</math> е законът за пътя на праволинейното равномерно движение. Тогава <math>v(t_0) = s'(t_0)</math> изразява '''моментната скорост''' на движението в момента от времето <math>t_0.</math> Втората производна <math>a(t_0) = s''(t_0)</math> изразява '''ускорението''' в момента <math>t_0.</math>
 
Въобще производната на функцията <math>y = f(x)</math> в точката <math>x_0</math> изразява скоростта на изменение на функцията в точката <math>x_0</math>.
 
== Производни от по-висок ред ==
Нека ''f''(''x'') е диференцуема функция и ''f''′(''x'') е нейната производна. Производната на ''f''′(''x'') (ако съществува) се означава като ''f''′'(''x'') и се нарича '''втора производна''' на ''f''(''x''). Също така производната на втората производна (ако съществува) се нарича '''трета производна'''. За някои функции този процес продължава и те имат четвърта и т. н. - '''производни от по-висок ред'''.
 
Функцията ''f'' може да няма производна - например, ако не е непрекъсната. Тогава тя може да няма и втора производна. Например нека
 
:<math> f(x) = \begin{cases} x^2, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -x^2, & \mbox{if }x \le 0\end{cases}.</math>
 
Елементарно пресмятане показва, че ''f'' е диференцуема функция, чиято производна е
 
:<math>f'(x) = \begin{cases} 2x, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -2x, & \mbox{if }x \le 0\end{cases}</math>.
 
''f''′(''x'') няма производна в нулата. Подобни примери показват, че една функция може да има ''k'' производни за някакво цяло неотрицателно ''k'', но да няма производна от (''k'' + 1)-ви ред.
 
== Вижте още ==
[[Функция]]
 
[[Граница (математика)]]
 
[[Интеграл]]
 
 
[[Категория:Математически анализ]]
 
{{Link FA|de}}
 
{{Link FA|ca}}
{{Link FA|lmo}}
{{Link FA|mk}}
{{Link GA|en}}
{{Link GA|zh}}