Математика: Разлика между версии

Най-известното определение на '''математиката''' гласи, че тя е [[наука]] за [[пространство|пространствените]] форми и [[количество|количествените]] съотношения. То е непълно, понеже свежда математиката само до класическата [[геометрия]] и числовата [[алгебра]]. Извън него остават голям брой области на съвременната математика, например [[Теория на групите|теорията на групите]]. Независимо от този съществен недостатък, определението правилно посочва двете основни идеи, от които математиката е получила своето начало — идеята за [[количество|количество]] и идеята за пространствена форма (конкретизирани съответно от понятията за [[число]] и за геометрична фигура). Тези идеи и досега са основни за математиката, наред с някои други, не по-малко важни, възникнали в процеса на нейното историческо развитие — като идеята за [[структура]] и идеята за промяна. Последните са философски понятия, но в математиката те получават специфична интерпретация поради връзката си с първите две идеи. Идеята за промяна се свързва с идеята за количество и така ударението пада най-вече върху скоростта на изменение и натрупването на измененията — две представи, поначало интуитивни, получили впоследствие ясен израз в математическите понятие [[производна]] и [[интеграл]]. Идеята за структура дава тласък на редица съвременни математически дисциплини, но все пак обектите, изучавани в тях, най-често наподобяват по свойства числата и/или геометричните фигури. Например в т. нар. [[абстрактна алгебра]] се разглеждат обекти, които не са числа, но все пак техните свойства са аналогични на свойствата на числата; а в [[Топология|топологията]] се разглеждат и пространства, много различни от пространството, в което живеем, но самото им разпознаване като такива намира основание в някои свойства, аналогични на свойствата на пространството, което възприемаме със сетивата си.

Отличителен признак на математиката е нейната логическа строгост: тя борави с точно дефинирани понятия и сигурно доказани твърдения. Математическите определения са изчерпателни: те съдържат необходимите и достатъчни условия, при които някой обект може да бъде причислен към обема на определяемото понятие. Поради това си качество математическите понятия са годни за съставяне на математически твърдения, чийто смисъл е напълно ясен. Затова истинността на тези твърдения може да бъде проверявана така, че получените заключения да бъдат абсолютно сигурни. Математическите твърдения, веднъж доказани, се намират отвъд всяко възможно съмнение. Това отличава математиката както от естествените, така и от хуманитарните науки, чиито твърдения могат да бъдат доказани най-много до степен отвъд всяко разумно съмнение, но не и отвъд всяко съмнение изобщо.

Казаното обяснява фундаменталната роля на [[Доказателство|доказателството]] в математиката. Като всяка наука, и математиката се развива, което включва между другото и съществуването на нерешени въпроси. Но в математиката има съвсем ясно разграничение между [[Хипотеза|хипотези]] (т.е. твърдения, които може да звучат правдоподобно, но все още не са доказани, следователно тяхната истинност, дори да е много вероятна, все пак не е напълно сигурна) и [[Теорема|теореми]] (т.е. твърдения, които са доказани строго, и затова истинността им повече не подлежи на съмнение).

Освен установяването на истинността на твърденията, доказателството има още една функция: с негова помощ се изследват връзките между твърденията. В тази си роля доказателството също е незаменим инструмент за математиката, тъй като нейният предмет включва не само математическите истини, но и техните взаимовръзки. Затова може да се каже, че доказателството лежи в сърцевината на математиката.

При все това математиката не е наука за доказателството; (такава наука е [[Логика|логиката]]). Между тези две науки има много силна връзка, но все пак те не съвпадат, тъй като се различават по своя предмет.

Известни елементарни представи за количеството и за пространствените форми вероятно са били достояние на човешкия род още от неговото възникване. Най-простите операции от този родтип (сравняване на разстояния, установяване на липса на предмет сред малка група от предмети) са по силите дори на висшите животни. В процеса на развитие на човека тези първоначално прости представи са се обогатявали и усложнявали. На даден етап е възникнала нуждата от оформянето им в понятия и подреждането на натрупаните знания в стройна система.