[[Файл:Niels Bohr Albert Einstein2 by Ehrenfest.jpg|мини|вляво|Айнщайн и Бор]]
Строгото математическо описание на квантовтаквантовата механика е направено от [[Пол Дирак]]<ref>P.A.M. Dirac, ''The Principles of Quantum Mechanics,'' Clarendon Press, Oxford, 1930.</ref> и [[Джон фон Нойман]]<ref>J. von Neumann, ''Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik,'' Springer, Berlin, 1932 (English translation: ''Mathematical Foundations of Quantum Mechanics,'' Princeton University Press, 1955).</ref> и се основава на [[Хилбертово пространство|Хилбертовите пространства]] и действащите в тях оператори. Възможните състояния на изолирана квантово-механична система се описват с вектори в това пространство, наречени „вектори на състоянието“. На наблюдаемите физични величини съответстват определени ермитови оператори в това пространство. На резултатите от измерванията на тези величини отговарят средните значения на тези оператори по зададен вектор на състоянието. Еволюцията на квантовата система във времето се определя от оператора на еволюцията, а той от своя страна, се изразява чрез [[Оператор на Хамилтон|хамилтониана]] на системата.
В някои случаи, структурата на това пространство и действащите в него оператори изглежда по-просто не в абстрактния си вид, а в някакво представяне. Курсовете по квантова механика стандартно започват с координатно представяне, при което вместо вектор на състоянието се използва неговата проекция по базиса на координатното представяне, тоест, [[Вълнова функция|вълновата функция]]. Уравнението на еволюцията във времето в този случай се изразява чрез диференциално уравнение с частни производни, наречено [[Уравнение на Шрьодингер]]:
