Фрактал: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
ред., реф. |
мРедакция без резюме |
||
Ред 1:
[[Картинка:Mandelpart2.jpg|мини|300px|При изобразяването на известното [[множество на Манделброт]] за всяка точка от [[комплексна равнина|комплексната равнина]] се решава рекурсивно зададено уравнение. Ако резултатът не се отдалечава от [[нула]], съответната точка е оцветена с черно. Останалите цветове представят броя
'''Фракталът''' е структура, за която се установява нетривиално [[Подобие|самоподобие]] със собствените
▲[[Картинка:Mandelpart2.jpg|мини|300px|При изобразяването на известното [[множество на Манделброт]] за всяка точка от [[комплексна равнина|комплексната равнина]] се решава рекурсивно зададено уравнение. Ако резултатът не се отдалечава от [[нула]], съответната точка е оцветена с черно. Останалите цветове представят броя итерациите, необходими за отдалечаването на резултата на дадено разстояние от нула.]]
Строго погледнато, фракталите са начупени в произволно малки
▲'''Фракталът''' е структура, за която се установява нетривиално самоподобие със собствените й частите. В много отношения това контрастира с обичайните „гладки“ обекти в традиционната математика и геометрия. Фракталът се представя като [[геометрия|геометричен]] обект, който е радикално „начупен“. Терминът ''фрактал'' (от [[латински език|латинското]] ''fractus'', ''счупен'') е въведен през [[1975]] от [[Беноа Манделброт]], за да привлече вниманието към тези обекти<ref>Mandelbrot B. (1983). ''The fractal geometry of nature''. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. </ref>. Като математически куриози те са известни още от 19в.
▲Строго погледнато фракталите са начупени в произволно малки мащаби, така че само техни крайни апроксимации реално могат да бъдат изобразявани. Най-често фракталът се генерира (например на [[компютър]]ен екран) от повтаряща се схема, обикновено [[рекурсия|рекурсивен]] или [[итерация|итерационен]] процес. Това позволява представяне на неговите характерни особености - ''[[самоподобност]]та'' и възпроизвеждането на цялостната структура независимо от увеличението.
Различни видове фрактали са първоначално изучавани като [[математика|математически]] обекти и терминът „фрактал“ е получил различни определения. "Фракталната геометрия" е неформална област от математиката, в която са събрани разнородни елементи свързвани с изучаване на фракталите и особеното им поведение<ref>Falconer K., ''Fractal Geometry'', 1990, John Wiley & Sons (ISBN 0-471-92287-0).</ref>. Тя намира приложение в [[наука]]та, [[техника]]та и [[компютърно изкуство|компютърното изкуство]].▼
▲Различни видове фрактали са изучавани първоначално
== История ==
Line 18 ⟶ 15:
[[Георг Кантор]] дава примери за подмножества на реалната права с необичайни свойства. Тези [[канторово множество|канторови множества]] (''Прах на Кантор'') също днес се определят като фрактали. Опитвайки се да разберат обекти, подобни на канторовите множества, математици като [[Константин Каратеодори]] и [[Феликс Хаусдорф]] обобщават интутивната идея за [[размерност]] като вклюват и не цели стойности. Итеративни функции в комплексната равнина са изследвани в края на [[19 век|19]] и началото на [[20 век]] от [[Анри Поанкаре]], [[Феликс Клайн]], [[Пиер Фату]] и [[Гастон Жюлиа]]. Без помощта на съвременната компютърна графика, обаче, те не са имали възможността да визулизират откритите от тях обекти.
През [[1960-те]] [[Беноа Манделброт]] започва да изследва самоподобността в публикации като ''Колко дълго е крайбрежието на Британия? Статистическа самоподобност и дробна размерност''. Приемайки силно визуален подход, Манделброт установява
Прилагането на компютърна визуализация към фракталната геометрия дава силен визуален аргумент за връзките на фракталната геометрия с далеч по-широки области на математиката и науката, отколкото се е смятало преди това, особено в областта на [[нелинейна динамика|нелинейната динамика]], [[теория на хаоса|теорията на хаоса]] и [[комплексни системи|комплексните системи]]. Пример за това е [[нютонов фрактал|нютоновият фрактал]] - изобразяване на характеристики на решението по [[метод на Нютон|метода на Нютон]] като фрактал, което показва как границите между различните решения са фрактали, а самите решения са [[странен атрактор|странни атрактори]]. Фракталната геометрия се използва и при [[компресиране на данни]] и [[Компютърна симулация|моделиране]] на сложни органични и геоложки системи, например растежа на дърветата или развитието на речните басейни.
=== Колко дълго е крайбрежието на Британия? ===
Line 27 ⟶ 24:
[[Люис Фрай Ричардсън]] е [[пацифист]] и [[математик]], изучавал причините за войната между две страни. Той решава да потърси зависимостта между размера на общата им граница и [[вероятност]]та две страни да влязат във война. Като част от своята работа, той изследва как се изменя получената дължина на границата при промяна на единицата за измерване. Той публикува емпирична статистика, цитирана по-късно от Манделброт в неговото изследване ''Колко дълго е крайбрежието на Британия? Статистическа самоподобност и дробна размерност''.
Да предположим, че крайбрежието на остров Британия се измерва с единица мярка 200-километрова отсечка, като двата края на отсечката едновременно опират в брега (можем да си представим, че измерваме с [[пергел]] с такъв разтвор). След това отсечката се намалява наполовина и процесът на измерване се повтаря, а след това се намалява на една четвърт от първоначалната:
Забелязва се, че колкото по-малка е отсечката, толкова по-голям е крайният резултат. Може да се предположи, че тези стойности ще клонят към някакво крайно число, което ще е „реалната“ дължина на крайбрежието, но Ричардсън доказва, че всъщност измерванията на дължината на бреговата линия клонят към [[безкрайност]].
Line 86 ⟶ 83:
== Примери ==
[[Картинка:Glue1_800x600.jpg|left|мини|260px|Отделянето на два покрити с лепило [[акрил]]ни
[[дърво|Дърветата]] и [[папрат]]ите са естествени фрактали и могат да бъдат компютърно моделирани с [[рекурсия|рекурсивни]] [[алгоритъм|алгоритми]]. Рекурсивната им природа проличава от следния пример — ако се вземе отделен клон от дърво или лист от папрат, може да се види, че то е миниатюрно копие на цялото, не идентично, но подобно по същество.
Line 99 ⟶ 96:
Някои обичайни примери за фрактали са [[множество на Манделброт|множеството на Манделброт]], [[фрактал на Ляпунов|фракталът на Ляпунов]], [[канторово множество|канторовото множество]], [[килим на Сиерпински|килимът]] и [[триъгълник на Сиерпински|триъгълникът на Сиерпински]], [[крива на Пеано|кривата на Пеано]] и [[снежинка на Кох|снежинката на Кох]].
[[Image:Julia set (highres 01).jpg|thumb|Примерна рисунка на Множеството на Жюлиа.]]▼
Приблизителни фрактали се срещат често в природата. Тези обекти имат сложна структура в широк, но ограничен, обхват на мащаба. Тези естествено срещащи се фрактали, като [[облачност|облаци]], [[планина|планини]], [[водосборен басейн|водосборни басейни]] и [[кръвоносна система|кръвоносни системи]], имат горна и долна граница на увеличението.
== Източници ==
<references />
== Вижте още ==
▲[[Image:Julia set (highres 01).jpg|thumb|Примерна рисунка на Множеството на Жюлиа.]]
▲* [[фрактално изкуство]]
* [[Графтал]]
▲* [[фрактален пейзаж]]
▲* [[хаусдорфова размерност]]
* [[Гастон Жюлиа]]
* [[Беноа Манделброт]]
* [[
* [[Турбулентност]]
* [[
== Външни препратки
;на български език * [http://bgchaos.com/category/fractals/aboutfractals/ Фракталите. За математиката на природата.]
* [http://bgchaos.com/category/fractals/chaos/ Еволюцията и хаосът. За произхода на живота.]
Line 121 ⟶ 120:
* [http://annatomova.wordpress.com/ Някои идеи за практическо приложение на фракталните изображения]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/index.shtml#f Фрактали, фрактална размерност, хаос, криви, запълващи равнината]
* [http://math.rice.edu/~lanius/fractals/self.html Свойства на фракталите]
| |||