Парадокс на Ръсел: Разлика между версии

'''Парадоксът на Ръсел''' е един много прост [[парадокс]] от [[теория на множествата|теорията на множествата]], изиграл важна роля във формиранетонейното на последнатаформиране. ОткритПарадоксът е формулиран около 1901г1901 г. от [[Бертран Ръсел]].

Парадоксът на Ръсел може да бъде изразен така „''Нека вземем множеството от множествата, които не принадлежат на себе си. Принадлежи ли то на себе си?''“. Или, нека имаме <math>A = \{B | B \notin B\}</math>, то тогава <math>A \in A \Leftrightarrow A \notin A</math>. Ако отговорим с „да“ на горния въпрос, ще получим, че тъй като по дефиниция елементите на това [[множество]] не принадлежат на себе си, те не принадлежат и на множеството в което са, т.е. имаме [[противоречие]]. Сега, ако отговорим с „не“ на същия въпрос, имаме свойството A да принадлежи на себе си и отново изпадаме в противоречие.

Парадоксът показва, че [[наивна теория на множествата|наивната теория на множествата]] в смисъла на [[Георг Кантор|Кантор]] е [[противоречива теория]]. Проблемът идва от там, че считаме, че можем да построим множество въз основата на всяко свойство. Така някои от тези свойства (и това именно е случаяслучаят в парадокса на Ръсел) генерират нестабилни самопрепращащи се цикли и съответно би трябвало те да бъдат изключени.

== Решения на парадокса на Ръсел ==

Първото решение е [[теория на типовете (математика)|теорията на типовете]] на Ръсел, според която множествата са с йерархични типове. Дадено множество може да съдържа само обекти стриктно по-малки от него самото. По този начин парадоксът на Ръсел просто да не може да бъде конструиран.

Второто решение се състои в ограничаване на принципа за формиране на множества (виж <ref>[[http://en.wikipedia.org/wiki/:Axiom_schema_of_specification Axiom schema of specification (en)])]</ref>: предикатите[[предикат]]ите не дефинират множества, а отделят в едно вече съществуващо множество елементите, които притежават дадено свойство.