Производна: Разлика между версии

28 байта изтрити ,  преди 7 години
м
редакция без резюме
м (Removing Link GA template (handled by wikidata))
мРедакция без резюме
[[File:Tangent to a curve.svg|thumb|200px|width=150|length=150|Графиката на функция (в черно) и [[допирателна|допирателната]]та (в червено). [[Диференчно частно|Диференчното частно]] на допирателната е равно на производната в дадената точка.]]
 
'''Производна на функция''' е основно понятие в диференциалното смятане, което характеризира скоростта на изменение на функцията. Функция, която има производна, се нарича '''диференцируема'''. Понятието е въведено от Нютон и Лайбниц независимо един от друг.
==Определение==
 
Нека функцията ''y'' = ''f''(''x'') е дефинирана в точка ''x''<sub>0</sub> от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се &Delta;x) в този случай се определя като x&minus;x<sub>0</sub>, а нарастването на функцията (&Delta;y) — като ''f(x)&minus;f(x<sub>0</sub>)''. Тогава, ако съществува [[граница (математика)|граница]] <math>\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}</math>, то тя се нарича '''производна''' на функцията ''f''(''x'') в точката ''x''<sub>0</sub>'''.
 
Частното <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> се нарича '''диференчно частно'''.
 
С други думи, производна на функцията ''f(x'') за дадена стойност (''x''<sub>0</sub>) се нарича границата (ако съществува) на отношението на нарастването на функцията и нарастването на аргумента ''х'', когато нарастването на аргумента клони към 0 <math>{(\Delta x\rightarrow 0})</math>.
 
Функция, която има производна в точка ''x'', се нарича диференцируема в точка ''x''. Математическото действие, с което се намира производната на една функция, се нарича ''диференциране''.
Означението за производна представено от [[Готфрид Лайбниц]] е едно от първите. То все още се използва когато уравнението ''y''&nbsp;=&nbsp;ƒ(''x'') се разглежда като функционална зависимост между зависимите и независимите променливи. Първата производна се означава:
 
:<math> \frac{dy}{dx} </math> (произнася се "де„де игрек де хикс"хикс“)
 
===Означение на [[Жозеф_Луи_Лагранж|Лагранж]]===
Една от най-разпространените означения при диференциране е дело на [[Жозеф Луи Лагранж]]. Първата производна се означава:
 
:<math>f'(x)\,</math> ( произнася се "еф„еф прим хикс"хикс“)
 
===Означение на [[Исак_Нютон|Нютон]]===
:<math>D_x f(x) \;</math> - за първа производна,
: <math>{D_x}^2 f(x) \;</math> - за втора производна, и
: <math>{D_x}^n f(x) \;</math> - за ''n''-та производна при ''n'' > 1
 
== Изчисляване на производни ==
 
=== Правила за диференциране ===
 
# Ако k е константа, то (ku)&prime; = ku&prime;.
# (u/v)&prime; = (u&prime;v&minus;uv&prime;)/v<sup>2</sup>. Доказателство: &Delta;(u/v) = u( x + &Delta;x ) / v( x + &Delta;x ) &minus; u( x ) / v( x ) = ( u( x + &Delta;x )v( x ) &minus; u( x )v( x + &Delta;x ) ) / ( v( x )v( x + &Delta;x ) ) =
( u( x + &Delta;x )v( x ) &minus; u( x )v( x ) &minus; u( x )v( x + &Delta;x ) + u( x )v( x ) ) / ( v( x )v( x + &Delta;x) ) =
( &Delta;u( x )v( x ) - u( x )&Delta;v( x ) ) / ( v( x )v( x + &Delta;x ) ) , границата е равна на (u&prime;v&minus;uv&prime;)/v<sup>2</sup>.
 
=== Производни на някои функции ===
# (''a''<sup>x</sup>)&prime; = a<sup>x</sup> ln a , в частност, (e<sup>x</sup>)&prime; = e<sup>x</sup>
# (log<sub>a</sub>x)&prime; = 1/(x ln a) ([[логаритъм]]), в частност, (ln x)&prime; = 1/x
# (x<sup>a</sup>)&prime; = ax<sup>a&minus;1</sup>
# <math>(\sqrt{x})^' = \frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
# (sin x)&prime; = cos x ([[синус]])
# (cos x)&prime; = &minus;sin x ([[косинус]])
# (tg x)&prime; = <math>\frac{1}{\cos^{2}x}</math> ([[тангенс]])
# (cоtgcotg x)&prime; = <math>-\frac{1}{\sin^{2}x}</math> ([[котангенс]])
# (arcsin x)&prime; = <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}</math> ([[аркуссинус]])
# (arccos x)&prime; = <math>-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}</math> ([[аркускосинус]])
 
== Смисъл на понятието ==
Ако разгледаме скоростта на движение на едно тяло или дебита на една водна тръба или какъвто и да е друг показател, можем да изчислим средното изменение на показателя за определен интервал от време. Ако разгледаме едно тяло и крайните точки на времевия интервал са ''t'' и (''t''<sub>0</sub>), то средната скорост на тялото ще е изменението в изминатия път към (''t''- ''t''<sub>0</sub>) (''v'' = ''s/t''). Колкото по-малък е този времеви интервал, толкова по-близо ще сме до дефиниране на скоростта в момента ''t''<sub>0</sub>.
 
== Геометричен и физически смисъл на производната ==
 
=== Геометрично представяне на понятието ===
Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ùѝ в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос.
 
=== Скорост на изменението на функцията път ===
Нека <math>s = s(t)</math> е законът за пътя на праволинейното равномерно движение. Тогава <math>v(t_0) = s'(t_0)</math> изразява '''моментната скорост''' на движението в момента от времето <math>t_0.</math> Втората производна <math>a(t_0) = s''(t_0)</math> изразява '''ускорението''' в момента <math>t_0.</math>
 
Въобще производната на функцията <math>y = f(x)</math> в точката <math>x_0</math> изразява скоростта на изменение на функцията в точката <math>x_0</math>.
 
== Производни от по-висок ред ==
Нека ''f''(''x'') е диференцуема функция и ''f''′(''x'') е нейната производна. Производната на ''f''′(''x'') (ако съществува) се означава като ''f''′'(''x'') и се нарича '''втора производна''' на ''f''(''x''). Също така производната на втората производна (ако съществува) се нарича '''трета производна'''. За някои функции този процес продължава и те имат четвърта и т. н. - '''производни от по-висок ред'''.
 
Функцията ''f'' може да няма производна - например, ако не е непрекъсната. Тогава тя може да няма и втора производна. Например нека