12 668
редакции
м
форматиране: 11x тире, 10x нов ред (ползвайки Advisor.js)
мРедакция без резюме |
м форматиране: 11x тире, 10x нов ред (ползвайки Advisor.js) |
||
Ред 4:
==Определение==
Нека функцията ''y'' = ''f''(''x'') е дефинирана в точка ''x''<sub>0</sub> от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се Δx) в този случай се определя като x−x<sub>0</sub>, а нарастването на функцията (Δy)
▲Нека функцията ''y'' = ''f''(''x'') е дефинирана в точка ''x''<sub>0</sub> от дефиниционната си област. Нарастването на аргумента (означава се Δx) в този случай се определя като x−x<sub>0</sub>, а нарастването на функцията (Δy) — като ''f(x)−f(x<sub>0</sub>)''. Тогава, ако съществува [[граница (математика)|граница]] <math>\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}}</math>, то тя се нарича '''производна''' на функцията ''f''(''x'') в точката ''x''<sub>0</sub>'''.
Частното <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> се нарича '''диференчно частно'''.
Line 14 ⟶ 13:
==Означения при диференциране==
Съществуват различни начини за означаване на производните при диференциране.
===Означение на [[Готфрид_Лайбниц|Лайбниц]]===
Означението за производна представено от [[Готфрид Лайбниц]] е едно от първите. То все още се използва когато уравнението ''y'' = ƒ(''x'') се разглежда като функционална зависимост между зависимите и независимите променливи. Първата производна се означава:
Line 29 ⟶ 26:
===Означение на [[Исак_Нютон|Нютон]]===
:<math>\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)</math>, <math>\ddot{x} = x''(t)</math>
===Означение на [[Ойлер]]===
: <math>{D_x}^2 f(x) \;</math>
: <math>{D_x}^
▲: <math>{D_x}^n f(x) \;</math> - за ''n''-та производна при ''n'' > 1
== Изчисляване на производни ==
=== Правила за диференциране ===
# Ако k е константа, то (ku)′ = ku′.
# (u+v)′ = u′+v′. Доказателство: Δ(u+v) = u(x+Δx)+v(x+Δx)−u(x)−v(x) = (u(x+Δx)−u(x))+(v(x+Δx)−v(x)) = Δu+Δv.
# (u · v)′ = u′ · v + u · v′. Доказателство: Δ(u · v) → u(x + Δx) · v(x + Δx)
#<math>(h(g(x)))' = h'[g(x)] g'(x)</math>
# (uv)<sup>(n)</sup>=<math>\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k}u^{(n-k)}v^{(k)}</math>
# (u/v)′ = (u′v−uv′)/v<sup>2</sup>. Доказателство: Δ(u/v) = u( x + Δx ) / v( x + Δx ) − u( x ) / v( x ) = ( u( x + Δx )v( x ) − u( x )v( x + Δx ) ) / ( v( x )v( x + Δx ) ) =
( u( x + Δx )v( x ) − u( x )v( x ) − u( x )v( x + Δx ) + u( x )v( x ) ) / ( v( x )v( x + Δx) ) =
( Δu( x )v( x )
=== Производни на някои функции ===
Line 68 ⟶ 61:
===Примерно пресмятане===
Производната на функцията
Line 86 ⟶ 78:
== Геометричен и физически смисъл на производната ==
=== Геометрично представяне на понятието ===
Производната на една функция в дадена точка е равна на тангенса от ъгъла, който допирателната към графиката ѝ в тази точка сключва с положителната посока на абсцисната ос.
Line 96 ⟶ 87:
== Производни от по-висок ред ==
Нека ''f''(''x'') е диференцуема функция и ''f''′(''x'') е нейната производна. Производната на ''f''′(''x'') (ако съществува) се означава като ''f''′'(''x'') и се нарича '''втора производна''' на ''f''(''x''). Също така производната на втората производна (ако съществува) се нарича '''трета производна'''. За някои функции този процес продължава и те имат четвърта и т. н.
Функцията ''f'' може да няма производна
:<math> f(x) = \begin{cases} x^2, & \mbox{if }x\ge 0 \\ -x^2, & \mbox{if }x \le 0\end{cases}.</math>
Line 114 ⟶ 105:
[[Интеграл]]
[[Категория:Математически анализ]]
| |||