Функционален анализ: Разлика между версии

'''Функционален анализ''' е дял от [[математика|математиката]]та, който се занимава с изучаването на [[векторно пространство|векторни пространства]] и [[оператор|операторите]]ите действащи върху тях. Думата функционален в името идва от [[вариационно смятане|вариационното смятане]], където се разглеждат [[функционал|функционали]] —и – [[функция|функции]], чиито аргументи са функции. Функционалният анализ дава основа за математическата обосновка на [[квантова механика|квантовата механика]]. Редица приложения на функционалния анализ откриваме в [[математическа физика|математическата физика]].

Линейно пространство с норма, което е пълно (по смисъл на сходимост по тази норма), се нарича банахово. Пространството от непрекъснати функции <math>f(x)</math>, с непрекъснати производни до '''k'''-ти ред, дефинирани върху интервала [0, 1], и притежаващо норма <math>||f|| = max ( max |f(x)|, max|f'(x)|, ... , max|f^{(k)}(x)| )</math> е пример за банахово пространство, със широко приложение във вариационното смятане.

Хилбертовите пространства могат да бъда напълно класифицирани. За всяка [[мощност на множества|мощност]] на [[базис|базиса]]а съществува единствено хилбертово пространство, с точност до [[изоморфизъм]]. Тъй като крайномерните хилбертови пространства са обстойно изучени в [[линейна алгебра|линейната алгебра]], функционалния анализ на хилбертови пространства се концентрира върху пространства с размерност ℵ₀. Пример за нерешена задача от теорията на хилбертовите пространства е задачата за инвариантното подпространство (Всеки ограничен оператор в хилбертово пространство има собствено инвариантно подпростарнство).

*Теорема на Хан-Банах. [[Функционал|Функционали]]и от дадено подпространство могат да бъдат продължени в цялото пространство, като се запази нормата.

*Проданов, Ив. (1982), Функционален анализ, София: Наука и изкуство.

*Люстерник, Л. и Соболев, В. (1975), Елементи на функционалния анализ, София: Техника

{{Математика-мъниче}}