Херонова формула: Разлика между версии

Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м https://en.wikipedia.org/wiki/Heron%27s_formula#cite_note-4
Добавих подсекцията Тригонометрично доказателство с помощта на Котангенсовата теорема.
Ред 10:
 
За произволен вписан четириъгълник със страни от <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> и <math>d</math> е вярно, че <math>S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}</math> (Формула на [[Брахмагупта]])
 
=== Тригонометрично доказателство с помощта на Котангенсовата теорема ===
От първата част на доказателството на Котангенсовата теорема получаваме, че площта на триъгълника e както
 
<math>\begin{align}
A &= r\big((s-a) + (s-b) + (s-c)\big) = r^2\left(\frac{s-a}{r} + \frac{s-b}{r} + \frac{s-c}{r}\right) \\
&= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} + \cot{\frac{\beta}{2}} + \cot{\frac{\gamma}{2}}\right) \\
\end{align}</math>
 
така и ''A'' = ''rs'', но тъй като сумата на полу-ъглите е ''π/2'', се прилага тройната идентичност на котангенс, затова първият резултат на ''A'' става
 
<math>\begin{align}
A &= r^2\left(\cot{\frac{\alpha}{2}} \cot{\frac{\beta}{2}} \cot{\frac{\gamma}{2}}\right) = r^2\left( \frac{s-a}{r}\cdot \frac{s-b}{r}\cdot \frac{s-c}{r}\right) \\
&= \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{r} \\
\end{align}</math>
 
Като комбинираме двете доказателства, получаваме търсения резултат
 
<math>A^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)</math>
 
== Изчислителна устойчивост ==
Хероновата формула, както е описана по-горе, е изчислително неустойчива за триъгълници с много малък ъгъл, когато се използва аритметика с плаваща запетая. Устойчива алтернатива включва подредба на страните според дължината им, така че ''a ≥ b ≥c'' и уравнението става
 
<math>A = \frac{1}{4}\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}.</math>
 
== Обобщение ==