Херонова формула: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
M.chipilov (беседа | приноси) Добавена секция "Примери" с няколко формули |
Добавих алгебричното доказалтество на формулата с помоща на питагоровата теорема . |
||
Ред 130:
\end{align}
</math>
==== '''Алгебрично доказателство с помощта на Питагоровата теорема''' ====
[[Файл:Питагорова теорема..png|мини|262x262пкс]]
Спрямо горната фигура от Питагоровата теорема получаваме ''b''<sup>2</sup> = ''h''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup> и ''a''<sup>2</sup> = ''h''<sup>2</sup> + (''c'' − ''d'')<sup>2.</sup>. Като извадим резултатите ''a''<sup>2</sup> и ''b''<sup>2</sup>, получаваме ''a''<sup>2</sup> − ''b''<sup>2</sup> = ''c''<sup>2</sup> − 2''cd.'' Това уравнение ни позволява да получим стойността на ''d'' спрямо страните на триъгълника:
<math>d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}</math>
За височината на триъгълника ''h'' имаме ''h''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup> − ''d''<sup>2</sup>. Като заменим ''d'' в горната формула и приложим разликата от квадратите, получаваме:
<math>\begin{align}
h^2 & = b^2-\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)^2\\
& = \frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\
& = \frac{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}{4c^2}\\
& = \frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\
& = \frac{2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^2}\\
& = \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}
\end{align}</math>
Сега прилагаме резултата към формулата, която изчислява площта на триъгълник по височината му:
<math>\begin{align}
A & = \frac{ch}{2}\\
& = \sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}}\\
& = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\end{align}</math>
| |||