Херонова формула: Разлика между версии

В най-опростения си вид изглежда така:<blockquote><math>S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}</math>,</blockquote><blockquote>където <math>a</math>, <math>b</math> и <math>c</math> са дължините на страните на триъгълника, а <math>p=\frac{a+b+c}{2}</math> и се нарича полупериметър на триъгълника.</blockquote>

Хероновата формула може да бъде написана и така:

:<blockquote>е била открита от китайците, независимо от гърците. Публикувана е през 1247 г. в „Математически трактат от 9 глави" на Цин Дзюшао.</blockquote>

Три други формули, имат същата структура като Хероновата формула, но се изразяват с помощта на различни променливи. Първо, като обозначим медианите от страните ''a'', ''b'', и ''c'' съответно с ''m_a'', ''m_b'', и ''m_c'' и тяхната полу-сума <math>\tfrac{1}{2}(m_a + m_b + m_c)</math> като ''σ'', получаваме<blockquote><math>A = \frac{4}{3} \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}.</math></blockquote><blockquote>После, като обозначим височините от страни ''a'', ''b'', и ''c'' съответно като ''h_a'', ''h_b'', и ''h_c'' и обозначим полу-сумата от реципрочните стойности на височините като <math>H = \tfrac{1}{2}(h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})</math>, получаваме</blockquote><math>A^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}.</math></blockquote>Накрая обозначаваме полу-сумата на синусите на ъглите като <math>S = \tfrac{1}{2}(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)</math> и получаваме</blockquote><blockquote><math>A = D^{2} \sqrt{S(S-\sin \alpha)(S-\sin \beta)(S-\sin \gamma)},</math></blockquote><blockquote>където ''D'' е диаметърът на окръжността: <math>D = \tfrac{a}{\sin \alpha} + \tfrac{b}{\sin \beta} + \tfrac{c}{\sin \gamma}</math>.</blockquote>