Многообразие: Разлика между версии

== Мотивационен пример: окръжност ==

 

 

[[Окръжност]]та е най-простия пример за топологично многообразие след евклидовото пространство. Нека е зададена окръжност с радиус 1 и център съвпадащ с центъра на координатната система. Ако ''x'' и ''y'' са координатите на точките от окръжността, то за тях ще е изпълнено ''x''² + ''y''² = 1.

Такава функция се нарича ''функция на прехода''.

 

 

Горната, долната, лявата и дясната карти показват, че окръжността е многообразие, но те не образуват единствения възможен атлас. Картите не е нужно да бъдат геометрични проекции, и броят им е въпрос на избор. Например могат да се изберат следните карти

: <math>t = {1\over s}.</math>

Нито една от двете карти не покрива цялата окръжност: ''s'' изпуска точката (−1,0), а ''t'' - (+1,0). Може да се покаже, че не е възможно една единствена карта да покрива цялата окръжност откъдето се вижда, че дори и простите примери се нуждаят от гъвкавостта която дават на многообразията и многото карти.

 

Многообразията не е нужно да са [[свързано пространство|свързани]] (състоящи се от едно парче): двойка отделни окръжности също е топологично многообразие. Не е и нужно те да са [[затворено множество|затворени]]: отсечка без краищата си е многообразие. Многообразията не е нужно да са ограничени: [[парабола]]та е пример за неограничено многообразие. Други примери са [[хипербола]]та и множеството от точките, които са решение на кубичното уравнение ''y''² - ''x''³ + ''x'' = 0, което не е нито свързано, нито затворено, нито ограничено.