Линейно пространство: Разлика между версии

В [[математика]]та, '''линейно пространство''' (или '''векторно пространство''') е съвкупност от обекти (наричани ''вектори''), които могат да бъдат умножавани с число или събирани. По-точно, линейно пространство е [[множество]], за което са дефинирани две операции, наричани (векторно) събиране и умножение с число, и които изпълняват няколко естествени аксиоми, описани по-долу. Линейните пространства са основнияосновният обект, с който се занимава [[линейна алгебра|линейната алгебра]], и имат широко приложение в математиката, природните и инженерните науки.

Най-познатите линейни пространства са двумерните и тримерните [[евклидово пространство|евклидови пространства]]. Векторите в тези пространства са наредени двойки или тройки от [[реално число|реални числа]] и често се представят с помощта на насочени отсечки. Тези вектори могат да бъдат събирани, използвайки правилото на успоредника, или умножавани с реални числа. Поведението им под действието на горните операции дава добър интуитивен модел за поведението на вектори в по-общи линейни пространства, които не е нужно да имат геометрична интерпретация. Например множеството на [[полином]]ите с реални коефициенти образува линейно пространство.

Нека ''F'' е [[поле (алгебра)|поле]], чиито елементи ще наричаме ''числа'' или ''скалари'' (например [[реално число|реалните]] или [[комплексно число|комплексните]] числа). Нека също ''V'' е непразно [[множество]], чийточиито елементи ще наричаме вектори. Нека във ''V'' са въведени операциите:

* ''събиране на вектори'', която на всеки два вектора '''v''' и '''w''' съпоставя вектор, който се означава с '''v''' + '''w''', и

Формално, тези аксиоми съвпадат с аксиомите за ''[[модул (математика)|модул]]'', така, че ''линейно пространство'' може да се дефинира като ''модул над поле''. Следователно векторните пространства са пример за модули.

Следните свойства следват лесно от аксиомите за линейно пространство.:

* Нулевият вектор '''0''' ∈ ''V'' е единствен: <p style="margin-left: 2em">Ако за '''0'''₁∈ ''V'' е изпълнено '''0'''₁ + '''v''' = '''v''', за всеки вектор '''v''' ∈ ''V'', то '''0'''₁ = '''0'''.</p>

* Резултатът от умножаване на нулевия вектор с число е нулевиянулевият вектор:<p style="margin-left: 2em">За всяко ''λ'' ∈ ''F'', имаме ''λ'' '''0''' = '''0'''.</p>

* При умножение на вектор с числото 0 се получава нулевиянулевият вектор: <p style="margin-left: 2em">За всеки '''v''' ∈ ''V'', е вярно 0 '''v''' = '''0'''.</p>

* В никой друг случай при умножение на вектор с число не се получава нулевиянулевият вектор: <p style="margin-left: 2em">''λ'' '''v''' = '''0''' тогава и само тогава, когато ''λ'' = 0 или '''v''' = '''0'''.</p>

* Противоположният вектор −'''v''' на вектора '''v''' е единствен: <p style="margin-left: 2em">Ако '''w'''₁ и '''w'''₂ са противоположни на '''v''', тоест '''v''' + '''w'''₁ = '''0''' и '''v''' + '''w'''₂ = '''0''', то '''w'''₁ = '''w'''₂. ПротивоположнияПротивоположният вектор се означава с −'''v'''. С негова помощ се дефинира разлика на два вектора: '''w'''&nbsp;−&nbsp;'''v''' ≡ '''w'''&nbsp;+&nbsp;(−'''v''').</p>

* При умножение на вектор с -1 се получава противоположнияпротивоположният му вектор: <p style="margin-left: 2em">За всеки '''v''' ∈ ''V'', е изпълнено (−1) '''v''' = −'''v'''.</p>

* Операцията отрицание комутира: <p style="margin-left: 2em">За всяко число ''λ'' ∈ ''F'' и всеки вектор '''v''' ∈ ''V'', е изпълнено (−''λ'') '''v''' = ''λ'' (−'''v''') = − (''λ'' '''v''').</p>

Най-простияпростият пример за линейно пространство над произволно поле е пространството, съдържащо само нулевия елемент - {'''0'''}. Също така полето F е линейно пространство над себе си - лесно се проверява, че аксиомите са изпълнени за стандартните действия събираниесъбиране и умножение (например множеството на реалните числа е линейно пространство над себе си).

Един от най-важните примери за линейно пространство е ''[[координатно пространството|координатното пространство]]'', дефинирано по следния начин.: Нека F е поле, а n е [[естествено число]]. Множеството от наредените n-торки числа от F образува линейно пространство и се отбелязва с Fⁿ, ако дефинираме операциите събиране и умножение с число по следния начин.: Нека

Тези операции изпълняват горните аксиоми, като нулевиянулевият елемент е

а противоположнияпротивоположният на '''x''' е

Друг пример е множеството на всички полиноми на една променлива с реални коефициенти. Там събирането и умножението по число са дефинирани по стандартния начин, а нулевиянулевият елемент е полиномът P(x)≡0. Множеството на всички [[функция|функции]], дефинирани над фиксирано множество и приемащи стойности в множеството на реалните числа, е линейно пространство над полето на реалните числа.

При дадено линейно пространство ''V'', непразно [[подмножество]] ''W'' на ''V'' се нарича ''[[линейно подпространство]]'', ако е затворено относно операциите събиране и умножение с число (тоест сумата на два вектора от W и произведението на вектор от W с число са елементи на W). Подпространствата на ''V'' са самите те линейни пространства (над същото поле). Сечението на всички подпространства, съдържащи дадено множество вектори, се нарича ''[[линейна обвивка]]'' на това множество. Ако при премахването на който и да е вектор от множество от вектори неговата линейна обвивка се променя, казваме, че векторите в това множество са ''[[линейна независимост|линейно независими]]''. Линейно независимо множество от вектори, чиято обвивка е цялото линейно пространство, се нарича ''[[базис]]''. Например в R³ множеството

е линейно подпространство на R³. Множеството <math>\{(0,1,0),(0,0,1)\}</math> е линейно независимо, докато <math>\{(0,1,0),(0,0,1),(0,0,2)\}</math> не е, защото линенаталинейната обвивка и на двете множества е множеството A. Един възможен базис на R³ е множеството <math>\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}</math>.

Всички базиси на едно линейно пространство са [[равномощно множество|равномощни]]. Ако линейното пространство има краен базис, то се нарича ''крайномерно'', а брояброят на елементите в базиса се нарича ''[[размерност]]'' на пространството. Така например R³ е крайномерно пространство с размерност 3. По-общо, всички координатни пространства Fⁿ са крайномерни с размерност n. Когато базиса има безкраен брой елементи, пространството се нарича ''безкрайномерно''. Такива например са пространствата на полиноми и функции, дефинирани по-горе. Пример за базис на пространството от полиниоми на една променлива е множеството <math>\{1,x,x^2,x^3,...,x^n,...\}</math>, което е безкрайно.

Базисът дава възможност всеки вектор да се изрази чрез наредена n-торка числа, наричана ''координати'' на вектора, спрямо фиксирания базис. Например спрямо базиса <math>\{(1,1,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1)\}</math>, вектора <math>(1,2,3)</math> има за координати числата 1,1 и 3, защото

''[[Линейно изображение]]'' е [[изображение]], между две (може и съвпадащи) линейни пространства над едно и също поле, което запазва тяхната структура. По-точно, нека ''V'' и ''W'' са линейни пространства над полето ''F'', а <math> l:V\rightarrow W </math> e [[функция]]. Казваме, че ''l'' е ''линейно изображение'', ако за произволни вектори '''u''','''v''' ∈ V и произволно число ''λ'' ∈ F е изпълнено:

Линейно изображение, което е едновременно и [[биекция]], се нарича ''линеен изоморфизъм''. Ако съществува изоморфизъм между две линейни пространства, те се наричат ''изоморфни''; от гледна точка на линейната алгебра двете пространства са еквивалентни.

Често се изучават линейни пространства, които притежават допълнителни структури. Целта им обикновено е обобщаването на стандартни понятия от геометрията.

* Реално или комплексно линейно пространство с добре-дефинирано понятие ''дължина'', или с други думи [[норма]], се нарича '''[[нормирано линейно пространство]]'''.

* Нормирано линейно пространство, за което е добрадобре дефинирано понятието ''ъгъл'', се нарича '''[[пространство със скаларно произведение]]'''.

* Линейно пространство, което притежава [[топологично пространство|топология]], съвместима с дефинраните операции (тоест такава, че събирането и умножението на вектор с число да бъдат [[непрекъснато изображение|непрекъснати]]), се нарича '''[[топологично линейно пространство]]'''.