Евклидово пространство: Разлика между версии

В [[математика]]та, '''евклидово пространство''' е вид [[линейно пространство]], в което могат да се дефинират понятията ''дължина на вектор'' и ''големина на ъгъл между два вектора''.

Тримерното пространство, в което живеем, е Евклидово пространство, а по-точно, '''тримерно евклидово пространство''', и се изучава от [[стереометрия]]та. Всяка [[равнина (математика)|равнина]] представлява '''двумерно евклидово пространство''' и се изучава от [[планиметрия]]та. По -общо, за всяка [[размерност]] n може да се дефинира '''n-мерно евклидово пространство''', което представлява обобщение на двумерния и тримерния случай. В евклидовите пространства са изпълнени всички аксиоми на Евклид, тоест те са модел за [[евклидова геометрия]]. До 19в19 в. [[геометрия]]та се занимава изключително с изучаването на тези пространства. През 19в. се открива съществуването на модели на [[неевклидова геометрия]].

Нека ''V'' е линейно пространство над [[поле (алгебра)|поле]]то на [[реално число|реалните числа]]. Нека е зададено изображение, „< , >“, което на всеки два вектора '''v''' и '''w''' съпоставя реално число, означено с <'''v''','''w'''>. Ще казваме, че ''V'' е '''евклидово пространство''', а изображението - '''скаларно произведение''', ако са изпълнени следните свойства:

Причината за въвеждането на евклидовите пространства е, че в обикновено линейно пространство не е възможно еднозначно да се дефинират понятията ''дължина'' и ''ъгъл'', така, че да имат познатите свойства от двумерното и тримерното пространство. Евклидовите пространства ни позволяват да дефинираме тези понятия за произволно голяма размерност.

където чрез <math>\|v\|</math> се отбелязва дължината на вектора '''v''', наричана още ''[[норма]]'', а α е ъгъла между двата вектора. По горната дефиниция множеството на векторите в равнината заедно с това скаларно произведение е евклидово пространство. От формулата могат лесно да се изведат следните зависимости:

Десните части на горните две формули могат да се пресмятат не само в равнината, но и във всяко евклидово пространство. Това позволява да се дефинират понятията ''норма на вектор'' чрез формула 1. и ''ъгъл между два вектора'' като [[аркускосинус]]а на стойността, която се получава по формула 2. СъсС така въведената норма, евклидовото пространство става [[нормирано пространство|нормирано]].