Линейно пространство: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Редакция без резюме |
Редакция без резюме |
||
Ред 4:
== Формална дефиниция ==
Нека ''F'' е [[поле (алгебра)|поле]], чиито елементи ще наричаме ''числа'' или ''скалари'' (например [[реално число|реалните]] или [[комплексно число|комплексните]] числа). Нека също ''V'' е непразно [[множество]], чиито елементи ще наричаме вектори. Нека във ''V'' са въведени операциите:
* ''събиране на вектори'', която на всеки два вектора '''v''' и '''w''' съпоставя вектор, който се означава с '''v''' + '''w''' и
* ''умножение на вектор с число'', която на вектора '''v''' и числото ''λ'' съпоставя вектор, който се означава с ''λ'''''v'''.
Казваме, че ''V'' е '''линейно пространство над полето''' ''F'', ако за така дефинираните операции са изпълнени следните аксиоми:
Ред 22:
== Елементарни свойства ==
Следните свойства следват лесно от аксиомите за линейно пространство:
Line 29 ⟶ 28:
* При умножение на вектор с числото 0 се получава нулевият вектор: <p style="margin-left: 2em">За всеки '''v''' ∈ ''V'' е вярно 0 '''v''' = '''0'''.</p>
* В никой друг случай при умножение на вектор с число не се получава нулевият вектор: <p style="margin-left: 2em">''λ'' '''v''' = '''0''' тогава и само тогава, когато ''λ'' = 0 или '''v''' = '''0'''.</p>
* Противоположният вектор −'''v''' на вектора '''v''' е единствен: <p style="margin-left: 2em">Ако '''w'''<sub>1</sub> и '''w'''<sub>2</sub> са противоположни на '''v''', тоест '''v''' + '''w'''<sub>1</sub> = '''0''' и '''v''' + '''w'''<sub>2</sub> = '''0''', то '''w'''<sub>1</sub> = '''w'''<sub>2</sub>.
* При умножение на вектор с -1 се получава противоположният му вектор: <p style="margin-left: 2em">За всеки '''v''' ∈ ''V'' е изпълнено (−1) '''v''' = −'''v'''.</p>
* Операцията отрицание комутира: <p style="margin-left: 2em">За всяко число ''λ'' ∈ ''F'' и всеки вектор '''v''' ∈ ''V'' е изпълнено (−''λ'') '''v''' = ''λ'' (−'''v''') = − (''λ'' '''v''').</p>
== Примери ==
Най-простият пример за линейно пространство над произволно поле е пространството, съдържащо само нулевия елемент
Един от най-важните примери за линейно пространство е ''[[координатно пространството|координатното пространство]]'', дефинирано по следния начин: Нека F е поле, а n е [[естествено число]]. Множеството от наредените n-торки числа от F образува линейно пространство и се отбелязва с F<sup>n</sup>, ако дефинираме операциите събиране и умножение с число по следния начин: Нека
▲Най-простият пример за линейно пространство над произволно поле е пространството, съдържащо само нулевия елемент - {'''0'''}. Също така полето F е линейно пространство над себе си - лесно се проверява, че аксиомите са изпълнени за стандартните действия събиране и умножение (например множеството на реалните числа е линейно пространство над себе си).
▲Един от най-важните примери за линейно пространство е ''[[координатно пространството|координатното пространство]]'', дефинирано по следния начин: Нека F е поле, а n е [[естествено число]]. Множеството от наредените n-торки числа от F образува линейно пространство и се отбелязва с F<sup>n</sup>, ако дефинираме операциите събиране и умножение с число по следния начин: Нека
:<math>x := (x_1, x_2, \ldots, x_n)\ , y := (y_1,y_2, \ldots, y_n)</math>
са елементи на F<sup>n</sup>, където x<sub>i</sub> и y<sub>i</sub> са числа от F. Нека още ''λ''∈ F. Дефинираме
:<math>x + y := (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n) \,</math>,
:<math>\lambda x := (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n) \,</math>
Тези операции изпълняват горните аксиоми, като нулевият елемент е
Line 46 ⟶ 44:
а противоположният на '''x''' е
:<math>-x = (-x_1, -x_2, \ldots, -x_n)</math>.
Най-голямо приложение намират ''реалното координтатно пространство'' '''R'''<sup>n</sup> (особено '''R'''<sup>2</sup> и '''R'''<sup>3</sup>) и ''комплексното координтатно пространство'' '''C'''<sup>n</sup>.
Line 51 ⟶ 50:
== Подпространство и базис ==
При дадено линейно пространство ''V'' непразно [[подмножество]] ''W'' на ''V'' се нарича ''[[линейно подпространство]]'', ако е затворено относно операциите събиране и умножение с число (тоест сумата на два вектора от W и произведението на вектор от W с число са елементи на W). Подпространствата на ''V'' са самите линейни пространства (над същото поле). Сечението на всички подпространства, съдържащи дадено множество вектори, се нарича ''[[линейна обвивка]]'' на това множество. Ако при премахването на който и да е вектор от множество от вектори неговата линейна обвивка се променя, казваме, че векторите в това множество са ''[[линейна независимост|линейно независими]]''. Линейно независимо множество от вектори, чиято обвивка е цялото линейно пространство, се нарича ''[[базис]]''. Например в R<sup>3</sup> множеството
▲При дадено линейно пространство ''V'' непразно [[подмножество]] ''W'' на ''V'' се нарича ''[[линейно подпространство]]'', ако е затворено относно операциите събиране и умножение с число (тоест сумата на два вектора от W и произведението на вектор от W с число са елементи на W). Подпространствата на ''V'' са самите линейни пространства (над същото поле). Сечението на всички подпространства, съдържащи дадено множество вектори, се нарича ''[[линейна обвивка]]'' на това множество. Ако при премахването на който и да е вектор от множество от вектори неговата линейна обвивка се променя, казваме, че векторите в това множество са ''[[линейна независимост|линейно независими]]''. Линейно независимо множество от вектори, чиято обвивка е цялото линейно пространство, се нарича ''[[базис]]''. Например в R<sup>3</sup> множеството
:<math>A = \{(0,x,y) | x\in \mathbb{R}, y\in \mathbb{R}\}</math>
е линейно подпространство на R<sup>3</sup>. Множеството <math>\{(0,1,0),(0,0,1)\}</math> е линейно независимо, докато <math>\{(0,1,0),(0,0,1),(0,0,2)\}</math> не е, защото линейната обвивка и на двете множества е множеството A. Един възможен базис на R<sup>3</sup> е множеството <math>\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}</math>.
Line 63 ⟶ 61:
== Линейни изображения ==
''[[Линейно изображение]]'' е [[изображение]], между две (може и съвпадащи) линейни пространства над едно и също поле, което запазва тяхната структура. По-точно нека ''V'' и ''W'' са линейни пространства над полето ''F'', а <math> l:V\rightarrow W </math> e [[функция]]. Казваме, че ''l'' е ''линейно изображение'', ако за произволни вектори '''u''','''v''' ∈ V и произволно число ''λ'' ∈ F е изпълнено:
Line 74 ⟶ 71:
== Допълнителни структури ==
Често се изучават линейни пространства, които притежават допълнителни структури. Целта им обикновено е обобщаването на стандартни понятия от геометрията.
Line 87 ⟶ 83:
== Вижте също ==
* [[Линейна алгебра]]
* [[вектор]], за вектори в равнината и пространството
| |||