Окръжност на Ойлер: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Редакция без резюме |
мРедакция без резюме |
||
Ред 1:
== Същност ==
Ред 5:
[[File:Nine-point circle.svg]]
== Доказателство ==
Нека точките M, N и P са средите съответно на BC, AC и AB; точките A1, B1и C1 са петите на височините съответно от A, B и C; Q, R и S са съответно средите на AH, BH и CH, където H е ортоцентърът, O е центърът на описаната окръжност, а G е медицентърът .
Нека опишем окръжност около ΔMNP. Ще докажем, че останалите точки лежат да тази окръжност, а след това, че центърът
MP – средна отсечка => MP||AC, MN
От друга страна AN = MP, => C1N = PM, => C1PMN
Аналогично можем да докажем, че всички пети на височините лежат на описаната около
Следващата стъпка е да докажем, че Q, R и S също лежат на описаната около ΔMNP окръжност.
QP
Освен това PM
=> ∠(QP;MP) = '''∠'''(BB1;AC) = 90⁰
∠QA1M = 90⁰ => QM се вижда от P и от A1 под 90° => Q ∈ описаната около ΔMPA1 окръжност т.е. на
Аналогично можем да докажем, че R и S също лежат на тази окръжност.
Line 30 ⟶ 31:
Остава само да докажем, че центърът на тази окръжност е средата на НО.
Нека симетралите на C1P и A1M пресичат C1P и A1M съответно в точките K и L.
OM и OP са радиуси, перпендикулярни на хордите => OM||HA1 и OP||HC1 => C1POH и OMA1H са трапци.
Line 36 ⟶ 37:
Симетралите на C1P и A1M са перпендикулярни и разполовяват съответно C1P и A1M => и двете минават през т. O1.
KO1- средна отсечка в трапеца C1POH => O1
Q е среда на AH, а O1 e среда на OH => QO1 е средна отсечка в ΔAHO, т.е. QO1 = AO/2, където QO1 е радиусът на Ойлеровата окръжност, а AO
| |||