Дзета-функция на Риман: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м →Отношение към простите числа: replaced: В последствие → Впоследствие редактирано с AWB |
мРедакция без резюме |
||
Ред 1:
'''Дзета-функцията на Риман''', означавана като ζ(''s''), е обобщение за сумирането на [[безкраен ред|безкрайни редове]] от [[Дроб (математика)|дроб]]и. Тя носи името на [[Германия|немския]] математик [[Бернхард Риман]]. [[функция]]та е
== Дефиниция ==
Ред 10:
</math>
Този ред е [[ред на Дирихле]] и е сходящ за всички [[реално число|реални числа]] ''s''> 1. Функцията може да се додефинира за всички комплексни ''s'' ≠ 1 с помощта на [[аналитично продължение]]. Риман показва това в статията си ''„Относно броя на простите числа по-малки от дадено число“'' през [[1859]] година. Той прави това на две стъпки. Първо Риман показва че редът е сходящ за всичи комплексни ''s'' с реална част Re(''s'') по-голяма от 1 и дефинира [[аналитична функция]] на проенливата ''s'' в областта {''s'' ∈ '''C''' : Re(''s'') > 1} След това той показва как да продължи ζ(''s'') за всички комплексни ''s'' различни от 1. В резултат дзета-функцията се превръща в [[мероморфна функция]] на
''s'', която е [[холоморфна функция|холоморфна]] в областта {''s''∈'''C''':''s''≠ 1} и има [[прост полюс]] в ''s''=1. Аналитичното продължение дефинира еднозначно функцията ζ(''s'') извън първоначалната област на сходимост. В допълнение на това, Риман извежда и [[функционално уравнение]] за дзета-функцията, което дава връзка между стойността ѝ в точките ''s'' и 1 − ''s''. Известната
== Отношение към простите числа ==
[[Леонард Ойлер|Ойлер]] пръв открива връзката между сумите от дроби и
▲[[Леонард Ойлер|Ойлер]] пръв открива връзката между сумите от дроби и [[просто число|простите числа]]. Впоследствие неговите резултати се записват чрез дзета функцията. Той открива формулата
:<math>
\begin{align}
Line 25 ⟶ 24:
</math>
където отдясно стои [[безкрайно произведение]] по всички прости числа ''p''. Това произведение е сходящо за Re(''s'') > 1.
== Свойства на дзета-функцията ==
<!--For the Riemann zeta function on the critical line, see
Ред 32:
=== Стойности в зададени точки ===
Следните числа са най-често използваните стойности на дзета-функцията на Риман.
Line 83 ⟶ 82:
:<math>\zeta(-7)=\frac{1}{240}</math>
Това са фактически [[аналитични продължения]], които позволяват да се приписват определени стойности на неограничено растящи стандартни сумирания.
:<math>\zeta(-1)= 1 + 2 + 3 + 4 +.... </math>
Също стойността на дзета-функцията за <math>n=0</math> e
<math> \zeta(0) = -\frac{1}{2}</math>.
Line 97 ⟶ 96:
</math>
което е изпълнено за всички комлпексни числа ''s'' освен 0 и 1. Тук, с
[[полюс (комплексен анализ)|полюс]] с [[резидуум]] 1. Равенството също показва, че дзета-функцията има нули в точките
−2, −4, … . Това са така наречените тривиални нули.
Line 121 ⟶ 120:
=== Нули на дзета-функцията на Риман ===
Дзета-функцията на Риман има нули в отрицателните цели числа. Това са така наречените '''тривиални нули'''.
Те са тривиални в смисъл, че тяхното съществуване може да се докаже сравнително лесно (например използвайки функционалното уравнение). Всички останали нули се наричат '''нетривиални'''.
която се смята за един от най-важните нерешени проблеми в математиката,
твърди, че за всяка нетривиална нула ''s'' е вярно Re(''s'') = 1/2. В теорията на дзета-функцията на Риман, множеството {''s'' ∈ '''C''':
Ред 139:
Теоремата за критичната права твърди, че положителен процент от нулите лежи върху критичната права.
Нулата с най-малка неотрицателна имагинерна част в критичната ивица е
следва, че нулите на дзета-функцията са симетрични относно реалната права.
Ред 157:
== Връзки ==
* [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html Riemann Zeta Function, във Wolfram Mathworld]
== Източници ==
| |||