Парадокс на Ръсел: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Редакция без резюме |
мРедакция без резюме |
||
Ред 2:
== Постановка на парадокса ==
Парадоксът на Ръсел може да бъде изразен така:
''Нека вземем множеството от множествата, които не принадлежат на себе си. Принадлежи ли то на себе си?''
Ако отговорим с „да“, ще получим, че тъй като по дефиниция елементите на това [[множество]] не принадлежат на себе си, то това множество също няма да принадлежи на себе си. Ако отговорим с „не“ на същия въпрос, ще получим, че това множество ще удовлетворява свойството, което го дефинира, и следователно ще принадлежи на себе си. Така и при двата отговора изпадаме в противоречие. Символно:
Нека <math>R := \{x
Парадоксът показва, че [[наивна теория на множествата|наивната теория на множествата]] в смисъла на [[Георг Кантор|Кантор]] е [[противоречива теория|противоречива]]. Проблемът се получава от това, че се допуска, че можем да образуваме множество въз основата на всяко произволно свойство. Така някои от тези свойства (и това именно е случаят в парадокса на Ръсел) генерират нестабилни рефлексивни цикли, които би трябвало да бъдат изключени по някакъв начин.
Ред 15:
Първото решение е [[теория на типовете (математика)|теорията на типовете]] на Ръсел, според която множествата са с йерархични типове. Дадено множество може да съдържа само обекти стриктно по-малки от него самото. По този начин парадоксът на Ръсел просто не може да бъде конструиран.
Второто решение се състои в ограничаване на принципа за формиране на множества <ref>[[:en:Axiom_schema_of_specification]]</ref>: [[съждение|предикат]]ите не дефинират множества, а отделят в едно вече съществуващо множество елементите, които притежават дадено свойство.
== Обяснение за нематематици ==
Ред 40:
(2*) ако <math>R</math> не си самопринадлежи, то <math>R</math> си самопринадлежи
(1*) има формата на <math>p \Rightarrow\neg p</math>, а (2*) на <math>\neg p \Rightarrow p</math>. [[Конюнкция
<math>p \Leftrightarrow\neg p</math> е противоречие, а тъй като разсъжденията, които водят до него, изглеждат коректни, това може да се нарече парадокс (а доколкото този парадокс се получава от определени формални свойства, той може да се нарече антиномия).
| |||