Импликация: Разлика между версии

Каква е връзката на логическата импликация с кондиционалното твърдение? Най-напред е налице следната разлика. Докато (σ) следва да се разбира метаезиково, т.е. с (σ) се споменават изречения и се казва: ние имаме право да направим преход от изреченията <math>p_1</math>, ..., <math>p_n</math> (и за тази цел дори можем да поставим изреченията <math>p_1</math>, ..., <math>p_n</math> в кавички) към изречението <math>q</math>, то кондиционалното твърдение ''<math>p\rightarrow q</math>'' е едно обектно езиково изречение, т.е. с него се говори не за езика (за изречения и т.н.), а за нещата в света; с ''<math>p\rightarrow q</math>'' се твърди: <math>q</math> при условие, че <math>p</math> (или: <math>p</math> не и без <math>q</math>). За метаезиковото „ако '«...'», то '«...'»“, което съдържа и един модален момент: „ако '«...'», то с необходимост '«...'»“, можем да въведем символа <math>\Rightarrow</math>. ''<math>p\Rightarrow q</math>'' казва: изречението <math>p</math> имплицира логически изречението <math>q</math>; или: <math>p</math> следва логически от <math>p</math>; или, формулирано като правило: от изречението <math>p</math> имае право да направим преход към изречението <math>q</math>. Връзката с ''<math>p\rightarrow q</math>'' е следната:

''<math>A</math>'' и ''<math>B</math>'' в (D₁) не са изречения, а променливи за изречения, при чието заместване поне едното от изреченията трябва да бъде комплексно, защото от едно елементарно изречение не може да следва ''логически'' друго елементарно изречение (защото, ако <math>p</math> и <math>q</math> са елементрниелементарни изречения, ''<math>p\rightarrow q</math>'' не може да бъде ''логически'' истинно изречение). Тук обясняваме понятието за логическо следване с понятието за логически истинно кондиционално изречение.

При аналитичните изречения трябва да се прави разлика между такива, които са истинни въз основа на значенията на, така да се каже, съдържателните думи в тях, каквито са напр „ерген“ и „неженен мъж“ в (ii), и такива, чиято истинност се получава от значението на формообразуващите частици в тях, каквито са напр. на „не“ и „или“ в (i). Ние наричаме втория вид аналитичност формална, а първия материална.<ref>Срв. E. Tugendhat & U. Wolf, ''Logisch-semantische Propädeutik''. Stuttgart: Reclam, 1984, гл. 4. (Подготвя се бълг. пр. в издателство Изток-Запад.)</ref> Формалната аналитичност на (i) се вижда по факта, че ако 'формализираме' (i), като заместим в него изреченеетоизречението „Навън вали дъжд“ с ''променливата'' <math>p</math> и получим така схемата

то което и произволно изречение да времем и го поставим на мястото на <math>p</math> в (σ₁), ще получаваме едно аналитично истинно изречения (напр. ако вземем „Цезар е умрял в 44 г. пр. Хр.“, ще получим „Цезар е умрял в 44 г. пр. Хр. или Цезар не е умрял в 44 г. пр. Хр.“). Ако заместим по същия начин „ерген“ (или „ерген“ и „неженен“, или „ерген“ и „неженен“, и „мъж“) в (ii) с променливата <math>F</math> (или <math>F</math> и <math>G</math>, или <math>F</math> и <math>G</math>, и <math>H</math>), ние ще получим една схема, която не е валидна, т.е. чиито инстанции (изреченията, които се получават при заместването на променливите с генерални тереминитермини) ще бъдат ту истинни, ту неистинни (а не винаги истинни както е в случая на схемата „<math>p</math> или не-<math>p</math>“). Напр., ако земемвземем за повече простота схемата с една променлива „Ако един мъж е <math>F</math>, то той е неженен“, и заместим <math>F</math>, да кажем, с „интелигентен“, ще получим твърдението „Ако един мъж е интелигентен, то той е неженен“, което е неистинно, защото не всички интелигентни мъже са неженени, т.е. защото има интелигентни женени мъже.

Логическите истини (логически истинните изречения) са тавтологии. Докато целта на обичайните изречения е да служат за описания на факти в света, а тяхната информативност се получава от изключването на определени случаи (в контраста на „това е така“ срещу „това не е така“), т.е. те са информативни, тъй като изтъкват една от две взаимоизключващи се възможности, то логически истинните изречения са необходимо истинни – истинни независимо от тока как стоят нещата в света. С други думуидуми, изреченеията, които говорят за света, съдържат в своя смисъл възможността да бъдат истинни и възможността да бъдат неистинни, то при логическите истини тази възможността за неистинност не съществува. По тази причина те не могат да говорят за действителността – за актуалния свят. От (i) ние не можем да разберем дали навън вали дъжд, или не. В този смисъл това, че са тавтологии, означава за логическите истини, че те нямат информативна стойност. Те съдържат определени повторения в себе си, били те имплицитни като в „ако <math>p</math>, то <math>p</math>“, били те имплицитни като в „<math>p</math> или не-<math>p</math>“.

Този 'недостатък' на логическите истини им дава възможност – в случая на ''импликативните'' тавтологии (логически истинните изречения с формата ''<math>A\rightarrow B</math>'') – да образуват основата, на която може да се обясни валидността на логическите заключения ''<math>A\Rightarrow B</math>'' (на 'преходите' от ''<math>A</math>'' към ''<math>B</math>''). Какво означава изречението ''<math>A\rightarrow B</math>'' да бъде логически истинно? Това означава, че всички разпределения на стойностите по истинност на (комплексното) изречение ''<math>A</math>'', които го правят истинно, са такива, които правят истинно също и (комплексното) изречение ''<math>B</math>''. Тъкмо затова ние имаме право да напревимнаправим заключение от ''<math>A</math>'' за ''<math>B</math>'' (да направим преход от ''<math>A</math>'' към ''<math>B</math>''). Защото какво е едно заключение? Нека припомним даденото по-горе определение на Аристотел: едно заключение е налице, когато ако дадени предпоставки ''<math>A</math>'' са истинни, то и един извод ''<math>B</math>'' е истинненистинен с необходимост. В случая тъкмо формата на ''<math>A\rightarrow B</math>'' гарантира необходимостта (необходимата истинност) на извода ''<math>B</math>'' от предпоставките ''<math>A</math>'', ''ако'' те са истинни. Това може да стане ясно най-добре с примери.

Преди да направим това, нека изясним следното. ''<math>p\rightarrow q</math> ''е ''едно'' (комплексно) изречение (в което <math>p</math> и <math>q</math> се явяват подизречения). ''<math>p\Rightarrow q</math>'' не е изречение, а преход от самостоятелното изречение <math>p</math> към самостоятелното изречение <math>q</math>. Истинността е свойстосвойство на изречения. Затова ''<math>p\rightarrow q</math>'' е истинно или неистинно. Напротив, тя не е свойство на 'преходи' и съотв. умозаключения. Едно умозаключение е валидно или невалидно. Ние казваме, че едно умозаключенеиеумозаключение е валидно тогава, когато истинността на предпоставките гарантира истинността на извода. Обратно, ние не наличаменаричаме изреченията ваилиднивалидни или не. Когато се опитваме да изясним валидността на ''<math>A\Rightarrow B</math>'' въз основата на логическата истинност на ''<math>A\rightarrow B</math>'', ние вземаме предпоставките ''<math>A</math>'' обединяваме ги в конюнкция и превръщаме тази конюнкция в антецедент на едно импликативно комплексно изречение с консеквент ''<math>B</math>'': ''<math>A\rightarrow B</math>''. Така в ''<math>A\rightarrow B</math> ''имаме ''едно'' изречение и питаме за неговата истинност. Това става по следния начин:

е логически-истинно. Това може да се провери напр. чрез т. нар. табличен метод:

Колонките под <math>\rightarrow</math> и <math>\and</math> показват, най-напред, стойностите по истинност на импликацията между <math>p</math> и <math>q</math>; после, на конюнкцията между ''<math>p\rightarrow q</math>'' и <math>p</math>; и, накрая, на импликацията с антецедент ''<math>(p\rightarrow q)\and p</math>'' и консеквент <math>q</math>. Тъкмо тази втора импликация е централният оператор на комплексното изречение ''<math>((p\rightarrow q) \and p) \rightarrow q</math>''. Както се вижда, тя дава само стойности по истинност И (истина) при всички разпределения на стойностите по истинност на <math>p</math> и <math>q</math>. Това означава, че импликативното изречение ''<math>((p\rightarrow q) \and p) \rightarrow q</math>'' е винаги истинно, както и да стоят нещата в света (както и те да правят <math>p</math> и <math>q</math> истинни или неистинни). ''<math>((p\rightarrow q) \and p) \rightarrow q</math>'', следователно, е аналитично. Тъй като то не зависи от това какви са съдържанията на изреченията <math>p</math> и <math>q</math>, ''<math>((p\rightarrow q) \and p) \rightarrow q</math>'' е формално аналитично (истинно въз основата на значенията на <math>\rightarrow</math> и <math>\and</math>). Ето защо тази структура може да се използва, за да се обясни формалната валидност на заключението от ''<math>p\rightarrow q</math>'' и <math>p</math> за <math>q</math>. (Напр. истиноистинно е, че (1) ако слънцето е изгряло, то небето е облачно. Истинно е също, че (2) слънцето е изгряло. От (1) и (2) можем да заключим по валиден начин, че (3) небето е облачно.)

Умозаключения ''<math>p\and q</math>'' <math>\Rightarrow</math> <math>p</math>, <math>p</math> <math>\Rightarrow</math> ''<math>p\or q</math>'' и ''<math>p\rightarrow q \Rightarrow \neg q \rightarrow \neg p</math>'' са примери за умозаключения с една предпоставка. Най-често обаче умозаключенията се правят от определено множество от предпоставки, които, обръзувайкиобразувайки сложно изречение, биват свързани в конюнкция, която, на свой ред, бива свързана с извода чрез кондиционална връзка. Едно важно правило за 'пренасяне' на една от предпоставките в извода, който придобива форма на кондиционално твърдение, изглежда по следния начин: от дадено правило за извод

<math>((p_1 \and \ldots \and p_n) \rightarrow q) \leftrightarrow ((p_1 \and \ldots \and p_{n-1}) \rightarrow (p_n \rightarrow q))</math>