Дроб (математика): Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
→Умножение: kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkyr Етикети: blanking Визуален редактор |
м Премахнати редакции на 46.10.68.177 (б.), към версия на 91.139.159.105 |
||
Ред 1:
{{към пояснение|Дроб|Дроб}}
[[File:Cake quarters.svg|мини|Една четвърта от торта е изядена. Остават <math>\textstyle{\frac{3}{4}}</math>]].
'''Дроби''' са [[число|числа]], които представят части от една цяла единица. Всяко [[рационално число]] може да се представи във вид на обикновена, на крайна периодична или на безкрайна периодична дроб. Безкрайните непериодични дроби представляват [[ирационално число|ирационалните числа]].
== Видове дроби ==
'''''Обикновените дроби''''' са числата във вида <math>\textstyle{r = \frac{m}{n}}</math>, където <math>\textstyle{n \ne 0}</math>. При тези означения <math>\textstyle{n}</math>
(''знаменател'') показва на колко части е разделена единицата, а <math>\textstyle{m}</math> (''числител'') колко от тези части са взети.
Отношението на обикновените дроби се записва, разделено от ''дробна черта'', която [[типография|типографски]] може да е разположена както по хоризонтала, така и по диагонал (в англосаксонските страни традиционно се предпочита записът с диагонална дробна черта<ref>''„Математически енциклопедичен речник“'', В. Гелерт, Х. Кестнер, З. Нойбер, ДИ Наука и изкуство, София, 1983</ref>).
Когато дробната черта е хоризонтална, за прегледност и коректност на записа всички аритметични знаци и равенството трябва да се изписват на нивото на дробната черта. Отново за прегледност цифрите в дробите обикновено се изписват с по-малък [[шрифт]], отколкото този на [[цяло число|целите числа]]. Това си личи особено при записа на '''''смесена дроб''''', например: <math>\textstyle{1 \frac{1}{2}}</math>.
Когато <math>\textstyle{m < n}</math> дробта се нарича '''''правилна''''', а когато <math>\textstyle{m \ge n}</math> – '''''неправилна'''''.
Дробите с числител 1 се наричат '''''[[аликвотна дроб|аликвотни]]'''''. За тях важи теоремата, че всяко положително рационално число може да се представи като крайна сума на аликвотни дроби с различни знаменатели.<ref>''„Лексикон Математика“'', Георги Симитчиев, Георги Чобанов, Иван Чобанов, ИК Абагар, София, 1995, ISBN 954-584-146-Х</ref>
'''''Десетичните дроби''''' са числа, които в [[бройна система|десетична бройна система]] се представят чрез [[цифра|цифри]] отдясно на десетична запетая. Обърнати в обикновени дроби, десетичните винаги имат за знаменател степен на числото 10.
Всяка обикновена дроб може да се представи като десетична. Например{{Br}}
<math>\textstyle{\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0,35}</math> е пример за '''''крайна''''', а{{Br}}
<math>\textstyle{\frac{2}{7} = 0,28571428...}</math> —
пример за безкрайна дроб.
Във втория пример делението продължава до момента, в който се появи число, което веднъж вече е било остатък, и тогава цифрите в резултата започват да се повтарят, т.е. дробта <math>\textstyle{\frac{2}{7}}</math> е '''''безкрайна периодична дроб'''''. Записва се още: <math>\textstyle{0,(285714)}</math>.
== Аритметика с дроби ==
Дробите, както и целите числа, се подчиняват на [[комутативен закон|комутативния]], [[асоциативен закон|асоциативния]] и [[дистрибутивен закон|дистрибутивния]] закони на [[аритметика]]та, както и на правилото, че не се дели на [[нула]].
=== Събиране ===
Сумата на обикновени дроби ''с равни знаменатели'' дава нова обикновена дроб със същия знаменател и числител – сумата на числителите на събираемите. Например: <math>\textstyle{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}}</math>.
Когато събираемите са с ''различни знаменатели'', първо трябва да се пристъпи към ''привеждане под общ знаменател''. Когато знаменателите са [[взаимнопрости числа]], това ще рече събираемите да се умножат съответно в числител и знаменател, така щото в знаменател да се получи произведението на взаимопростите числа, и чак тогава да се пристъпи към събиране. Например:
<math>\textstyle{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5}= \frac{20}{60} + \frac{15}{60} + \frac{12}{60} = \frac{47}{60}} </math>. Изказано по друг начин: <math>\textstyle{\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} = \frac{ad + bc}{bd}} </math>.
Процедурата с изваждането е аналогична.
===Умножение===
При умножението числителят и знаменателят на едната дроб трябва да се умножат съответно с числителя и знаменателя на другата дроб.
=== Деление ===
Да се дели на обикновена дроб означава да се умножава с реципрочната ѝ, така нареченото „умножаване на кръст“, което най-лесно се илюстрира така <math>\textstyle{\frac{a}{b} \div \frac {c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} }</math>
<!-- === Дроби и проценти === -->
<!-- === Закръгляване на периодични дроби === -->
== История на дробите ==
Във всички езици понятието за дробно число се обозначава с думи със същия корен като ''„раздробявам“, „разчупвам“''; на [[латински език|латински]] ''„дроб“'' е ''„fractura“'', което е производно от ''„frango“''(''„разбивам“, „начупвам“'').
Първи с понятието за дроб са боравили [[араби]]те, а в европейската математика е въведено в началото на [[13 век]] от [[Фибоначи]]. Названията „числител“ и „знаменател“ се срещат у [[Максим Планут]] в края на 13 век. През 1558 г. [[Траншан]] въвежда „обикновената“ дроб (fractura vulgaris), унгарецът [[Йохан Андреас фон Зегнер|Зегнер]] въвежда термините „правилна“ и „неправилна дроб“.
Първото писмено свидетелство за привеждане под общ знаменател е открито у [[Йохан Региомонтан|Региомонтан]] в негова работа от 1464 г., а [[най-малко общо кратно|най-малък общ знаменател]] започва да се търси едва през втората половина на [[16 век]], след трудовете на [[Николо Тарталия]] (1556) и [[Христофор Клавий]] (1538).
Десетичните дроби, от своя страна, получават широко разпространение в края на 16 век след отпечатването на книгата ''„De Thiende“'' (''„Десетата“'') на фламандския инженер [[Симон Стевин]] (1585). Превръщането на обикновени дроби в десетични и обратно се разглежда от [[Бонавентура Кавалиери|Кавалиери]] през 1643 г.
Знае се, че [[Верижна дроб|верижните дроби]] са били известни на индийските математици от 12 век, срещат се у [[Рафаел Бомбели|Бомбели]] в негов труд от 1572 г. Над елементарната теория на верижните дроби работят [[Леонард Ойлер|Ойлер]], [[Кристиян Хюйгенс|Хюйгенс]] и [[Джон Уолис|Уолис]], който въвежда термина „fractio continua“.
Самите записи на дробите също са се различавали съществено през вековете. Пизански въвежда дробната черта, вероятно заимствайки я от арабите. Въпреки това в средата на [[17 век]] продължават да се срещат математици, които не я ползват ([[Марен Мерсен|Мерсен]], 1644). Десетичната запетая е въведена през 1529 г. от италианския астроном [[Джовани Антонио Маджини|Маджини]], а по-късно отново лансирана от [[Джон Непер|Непер]]. До този момент е била използвана вертикална черта, нула в скобки или различни мастила: черно за цялата част и червено за дробната. Съвременният запис на верижните дроби пък е въведен от [[Готфрид Лайбниц|Лайбниц]] през 1696 и Хюйгенс през 1698 г.<ref>''„Математически термини“'', Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984</ref>
== Вижте също ==
* [[Делимост]]
* [[Рационални числа]]
| |||