Отваря главното меню

Промени

м
Премахната редакция 7931995 на 87.126.157.11 (б.); форматиране: 14x заглавие-стил, 11x нов ред, 9x кавички, 5x тире, 6lokav...
'''Златно сечение''' (известно още като '''златна пропорция''', '''златен коефициент''' или '''божествена пропорция''') е [[ирационално число]] в [[математика]]та, което изразява [[отношение]] на части, за които по-голямата част се отнася към по-малката така, както цялото към по-голямата. То се отбелязва с [[гръцка азбука|гръцката буква]] [[Фи|φ]] и има стойност приблизително равна на 1,618...
 
Златното сечение е не само математическо понятие, но е символ за красота, хармония и съвършенство в [[изкуство]]то, [[наука]]та и [[природа]]та. Терминът "златно„златно сечение"сечение“ е въведен от [[Леонардо да Винчи]] като пропорция за "идеалното„идеалното човешко тяло"тяло“. То е било познато на [[Древен Египет|египтяните]] и древните гърци още в [[античността]]. Представата за хармония и отношение eе в основата на философските идеи на [[Питагор]]. [[Египетски пирамиди|Египетските пирамиди]] и [[Партенон]]ът са пример за използването на пропорцията φ в архитектурата.
 
== История ==
В достигналата до нас антична литература златното сечение се среща за първи път в "[[Елементи]]" на [[Евклид]]. След Евклид с изучаване на това отношение са се занимавали и други древногръцки философи. В [[Средновековие|средновековна]] [[Европа]] златното сечение достига чрез преводите на "[[Елементи]]" на Евклид, а преводачът Дж. Кампано от Навара (III в.) прави първите коментари към преводите. По това време тайните на златното отношение се пазели ревностно и били известни единствено на посветените.
 
[[Image:Phi_uc_lc.svg|thumb|200px|Златното сечение се отбелязва с гръцката буква от φ - – първата буква от името на древногръцкия скулптор [[Фидий]].]]
В достигналата до нас антична литература златното сечение се среща за първи път в "[[Елементи]]" на [[Евклид]]. След Евклид с изучаване на това отношение са се занимавали и други древногръцки философи. В [[Средновековие|средновековна]] [[Европа]] златното сечение достига чрез преводите на "[[Елементи]]" на Евклид, а преводачът Дж. Кампано от Навара (III в.) прави първите коментари към преводите. По това време тайните на златното отношение се пазели ревностно и били известни единствено на посветените.
В епохата на [[Ренесанс]]а интересът на учените и художниците към това число се засилил във връзка с неговото приложение в [[геометрия]]та, в изкуството и най-вече в [[архитектура]]та. През [[1509]] г. във [[Венеция]] била издадена книгата на монаха [[Лука Пачоли]] "Божествена„Божествена пропорция"пропорция“ с илюстрации, които се предполага, че са дело на [[Леонардо да Винчи]]. Книгата била възторжен химн на златното сечение, в която не се пропуска да се спомене дори "божествената„божествената същност"същност“ на числото като изражение на божието триединство.
 
Леонардо да Винчи също отделя голямо внимание на изучаването на златното отношение. Той го използва като пропорция за "идеалното„идеалното човешко тяло"тяло“. Именно той въвежда понятието "златно„златно сечение"сечение“ в резултат на множеството опити, които прави със сечения на стереометрично тяло, образувано от правилни петоъгълници, като достига до извода, че получените фигури са правоъгълници с отношение на страните, равно на златното отношение.
[[Image:Phi_uc_lc.svg|thumb|200px|Златното сечение се отбелязва с гръцката буква от φ - първата буква от името на древногръцкия скулптор [[Фидий]].]]
В епохата на [[Ренесанс]]а интересът на учените и художниците към това число се засилил във връзка с неговото приложение в [[геометрия]]та, в изкуството и най-вече в [[архитектура]]та. През [[1509]] г. във [[Венеция]] била издадена книгата на монаха [[Лука Пачоли]] "Божествена пропорция" с илюстрации, които се предполага, че са дело на [[Леонардо да Винчи]]. Книгата била възторжен химн на златното сечение, в която не се пропуска да се спомене дори "божествената същност" на числото като изражение на божието триединство.
 
Леонардо да Винчи също отделя голямо внимание на изучаването на златното отношение. Той го използва като пропорция за "идеалното човешко тяло". Именно той въвежда понятието "златно сечение" в резултат на множеството опити, които прави със сечения на стереометрично тяло, образувано от правилни петоъгълници, като достига до извода, че получените фигури са правоъгълници с отношение на страните, равно на златното отношение.
 
По това време в Северна [[Европа]] [[Албрехт Дюрер]] работи над същите проблеми. Според едно от неговите писма той се е срещал с Лука Пачоли при едно от пребиваванията му в Италия. Албрехт Дюрер подробно разработва теорията за пропорциите на човешкото тяло. Важно място в неговата работа заема златното отношение. Той установява, че ръстът на човека се дели в златно отношение от линията на кръста.
Астрономът [[Йохан Кеплер]] през XVI век нарича златното отношение едно от съкровищата на геометрията. Той първи отбелязва приложението на златното сечение в ботаниката.
 
През [[1855]] г. немският изследовател [[Адолф Цайзинг]] публикува своя труд "Естетически„Естетически изследвания"изследвания“, в който обявява златното сечение за универсално във всички явления в природата и изкуството. Цайзинг извършва около две хиляди измервания на човешки тела и достига до извода, че златното сечение изразява средностатистически закон. Той показва, че деленето на тялото в точката на пъпа е най-добрия пример на златно отношение. Пропорциите на мъжкото тяло се колебаят около отношението 13 : 8 = 1,625 и са много по-близки до златната пропорция, отколкото женското тяло, чието средно отношение е 8 : 5 = 1,6. Пропорцията на златното сечение се проявява и при други части на тялото.
 
==Математически свойства==
 
===Определяне на стойността===
 
== Математически свойства ==
Две числа '''a''' и '''b''' са в зависимост, наречена златно сечение, ако отношението на по-малкото към по-голямото е равно на отношението на по-голямото към сбора им, което записано математически дава следната формула:
=== Определяне на стойността ===
Две числа '''a''' и '''b''' са в зависимост, наречена златно сечение, ако отношението на по-малкото към по-голямото е равно на отношението на по-голямото към сбора им, което записано математически дава следната формула:
 
:<math>\frac{a+b}{a+b} = \frac{a}{b} </math>
 
При умножаване двете страни на равенството с '''a/b''' и заместване на '''a/b''' с '''&phi;''' се получава следното уравнение:
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,6180339887...</math>
 
=== Алтернативни форми за представяне ===
 
Тъй като <math>\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi}</math>, то &phi; може да се представи като
 
което се получава от факта, че отношението на дължината на диагонала на правилен петоъгълник към негова страна е равно на &phi;.
 
=== Алгебрични свойства ===
 
От уравнението
 
 
Непосредствено следва и че
:<math>\forall n\in\mathbb{N}, \varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}</math>
 
което е аналог на рекурентната връзка задаваща числата от [[число на Фибоначи|редицата на Фибоначи]], <math>F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}</math>
 
&phi; също е и границата, към която клони отношението на два последователни члена от на редицата на Фибоначи:
 
:<math>\varphi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}</math>
 
=== Геометрични свойства ===
 
Златното сечение е число, което често се явява в [[геометрия]]та и най-вече във фигури, свързани с петоъгълна [[симетрия]]. Отношението на диагонал към страна в правилен [[петоъгълник]] е равно на φ.
 
==== Геометрично построение ====
 
[[File:Golden section construction.png|thumb|200px|Построяване на златно сечение]]
 
:# Построява се окръжност с център точка ''A'' и радиус ''AD'', която пресича ''AB'' в точка ''S''.
 
==== Златни геометрични фигури ====
[[File:Golden rectangles.png|thumbnail|200px|Златен правоъгълник]]
[[File:Golden spiral in rectangles.png|thumbnail|200px|Златна спирала в златен правоъгълник]]
:[[Пентаграм]]ът е фигура, образувана от 5 златни триъгълника, вписани в правилен петоъгълник Всяка от петте линии, съставящи тази фигура, дели другата в златно отношение.
 
*'''Златна спирала''' е [[спирала]], която се образува при вписване на четвърт от [[окръжност]] във всеки квадрат, получен при безкрайно разделяне на златен правоъгълник в поредица от все по-малки златни правоъгълници. Тази спирала се доближава до [[логаритмична спирала]] с център пресечената точка на диагоналите на първите два правоъгълника.
 
<!--
 
== Златно сечение в природата ==
-->
 
<!--
 
== Златното сечение в изкуството ==
-->
 
== Златно сечение в архитектурата ==
Въпреки, че не съществуват писмени свидетелства, останали от [[Древен Египет|­­древните египтяни]], смята се, че те са познавали златното сечение, защото отношения, близки до неговата стойност, се срещат в пропорциите на пирамидите. Например отношението на височината на страна на пирамидата в Гиза към нейната дължина в основата е равно на &phi;/2.
 
[[Средновековие|Средновековните]] архитекти подобно на древните гърци са съчетавали изкуство и геометрия в своите творения и по този начин са използвали златното сечение в проектирането и строителството на църкви и катедрали. Като пример за златно отношение в Средновековието може да се даде катедралата [[Света Богородица (Париж)|Парижката света Богородица]]. На фасадата на тази катедрала се вижда, че всеки архитектурен елемент се отнася към някой от останалите в златно сечение, както и че цялата фасада се вписва в златен правоъгълник.
 
Принципът на златното сечение намира място и в съвременната архитектура. В средата на XX век швейцарският архитект [[льо Корбюзие]] създава скала от отношения за архитектурни форми на базата на златното сечение, наречена Modulor, която се използва широко в модерната архитектура.
 
Зрителното поле на човека било с отношение на ширината към дължината от 16/9, което е близо до златното сечение, и според някои източници е причина и за новия стандарт на широкоекранните резолюции - – 16/9 <ref>{{Цитат уеб|уеб_адрес=http://www.screenonline.org.uk/tv/widescreen/widescreen1.html |заглавие=Widescreen TV 1. 'Pictures of the Wide Tomorrow' |достъп_дата=23.12.2008 |автор=Richard G. Elen |съавтори= |дата= |формат= |издател=screenonline.org.uk |език=en}}</ref> .
 
<!--
 
== Златно сечение в науката ==
-->
 
== Източници ==
<references />
 
2. Грант Аракелян''. Математика и история золотого сечения''. – М.: Логос, 2014, 404 с. – ISBN 978-5-98704-663-0.
 
== Външни препратки ==
* [http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA&feature=youtu.be Златното сечение в природата] - – филмче в [[YouTube]]
 
[[Категория:Реални числа]]