Група (алгебра): Разлика между версии

Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
BotNinja (беседа | приноси)
Категория
м към поясн.; форматиране: 4x нов ред, 5 интервала (ползвайки Advisor)
Ред 1:
{{към пояснение|Група}}
''Тази статия се отнася до групите в математиката. За други значения на понятието виж [[група|пояснителната страница]].''
 
[[File:Rubik's cube.svg|thumb|Възможните трансформации на [[куб на Рубик|куба на Рубик]] са пример за група]]
'''Група''' е вид [[алгебра|алгебрична структура]], която представлява едно от най-основните понятия в [[математика]]та. Една група се състои грубо казано от трансформациите на даден обект. Например множеството от [[ротация|ротации]] на един правилен n-ъгълник е група с n елемента. Пример за по-сложна група е множеството от трансформациите на [[куб на Рубик|куба на Рубик]]. Всяка група е снабдена с операция която на всеки две трансформации съпоставя тяхната композиция.
 
За да могат групите да се изучават в най-голяма общност те се дефинират аксиоматично без да се конкретизира върху кой обект действат. Група, това е [[множество]] снабдено с [[операция]], която на всеки два елемента съпоставя трети, и която изпълнява определени [[аксиома|аксиоми]]. Груповата операция трябва да е [[асоциативност|асоциативна]], да има [[неутрален елемент]] и всеки елемент на групата трябва да има [[обратен елемент|обратен]]. Множеството на [[цяло число|целите числа]] заедно с операцията събиране е друг пример за група.
 
== Дефиниция ==
Множеството ''G'' заедно със зададена в него [[бинарна операция]] · се нарича '''група''' и се означава с (''G'', · ), ако изпълнява следните аксиоми:
# '''[[асоциативност]]''': за всеки три елемента ''a'', ''b'' и ''c'' от ''G'' е в сила равенството (''a'' · ''b'') · ''c'' = ''a'' · (''b'' · ''c'').
# '''съществува [[единица (алгебра)|единичен елемент]]''': в ''G'' съществува елемент ''e'', такъв, че за кой да е елемент ''a'' от ''G'' е в сила равенството ''e · a'' = ''a · e'' = ''a''.
# '''наличие на [[обратен елемент]]''': за произволен елемент ''a'' от ''G'', съществува елемент ''b'' от ''G'', наричан ''обратен'' на ''a'', така че е в сила равенството ''a · b'' = ''b · a'' = ''e''.
 
Множеството ''G'' със зададената в него [[бинарна операция]] ·, удовлетворяващо само първите две аксиоми се нарича [[моноид]].
 
Така, групата може да бъде определена като моноид, в който всеки елемент е обратим.
 
Да отбележим, че свойството ''a'' · ''b'' = ''b'' · ''a'' ( често наричан ''[[комутативност|комутативен]]'' закон) не е задължително да е в сила.
 
Група ''G'', за която това равенство е изпълнено за всеки два елемента ''a, b'' от ''G'', се нарича ''комутативна'', или ''[[абелева група]]''.
 
== Основни Твърдениятвърдения ==
=== Крайни групи ===
==== Теорема на Лагранж ====
 
==== Теореми на Силов ====
 
{{Математика-мъниче}}