Разлика между версии на „Статистическа сума“

м
Disambiguated: свободна енергияСвободна енергия на Гибс, форматиране: 2x заглавие-стил, 2x нов ред, 4 интервала (ползвайки Advisor)
м (→‎Определение: replaced: импулсимпулс редактирано с AWB)
м (Disambiguated: свободна енергияСвободна енергия на Гибс, форматиране: 2x заглавие-стил, 2x нов ред, 4 интервала (ползвайки Advisor))
{{Статистическа физика}}
'''Статистическата сума''' (обикновено се отбелязва със ''Z'', от нем. – ''Zustandssumme'') е величина в [[статистическа механика|статистическата физика]], която съдържа информация за физичните свойства на система в състояние на [[термодинамично равновесие]]. Статистическата сума е [[функция]] на [[температура]]та и други параметри на системата, като например [[обем]] или [[химичен потенциал]]. Много от [[термодинамика|термодинамичните величини]] на системата, като [[енергия]], [[Свободна енергия на Гибс|свободна енергия]], [[ентропия]], [[налягане]], могат да бъдат изразени чрез статистическата сума или нейните [[производна|производни]]<ref name="Feynman_stat_mech">{{cite book |last=Feynman|first=Richard Phillips|title=Statistical Mechanics. A Set of Lectures|publisher=W.A. Benjamin|year=1972|isbn=0-805-32508-5}}</ref><ref name="LnL_stat_v1">{{cite book |last=Lifshitz|first=E. M.|last2=Pitaevskii |first2=L.P.|title=Landau and Lifshitz Course of Theoretical Physics Vol. 5: Statistical Physics|publisher=Pergamon Press|year =1980|page=158|isbn=0-08-023039-3}}</ref>.
 
На различните статистически ансамбли съответстват различни статистически суми. Каноничната статистическа сума отговаря на [[каноничен ансамбъл|каноничния ансамбъл]], в който системата може да обменя с обкръжаващата среда топлина при постоянни температура, обем и брой [[частица|частици]]. Голямата канонична статистическа сума съответства на [[голям каноничен ансамбъл|големия каноничен ансамбъл]], при който системата може да обменя с обкръжаващата среда [[топлина]] и частици при постоянни температура, обем и химичен потенциал.
 
== Канонична статистическа сума ==
=== Определение ===
В каноничния ансамбъл системата е в равновесие с околната среда при температура ''T'' и броят частици в системата и нейният обем са постоянни. Нека обозначим с ''s'' (''s= 1,2,3,...'') собствените [[квантово състояние|квантови състояния]] на системата, а с ''Е''<sub>s</sub> енергията на системата, когато се намира в собствено състояние ''s''. (Енергиите ''Е''<sub>s</sub> са [[собствена стойност|собствените стойности]] на квантовия [[Оператор на Хамилтон|Хамилтонов оператор]] на системата съответстващи на собствените [[квантово състояние|квантови състояния]] ''s''). Чрез ентропичен аргумент може да се покаже<ref name="LnL_stat_v1"></ref>, че вероятността системата да е в дадено микросъстояние ''s'':
 
:<math>p_s= \frac{e^{-E_s/k_B T}}{Z}</math>
 
където ''Т'' е температурата, ''k''<sub>B</sub> е [[константа на Болцман|константата на Болцман]], a нормиращата [[константа|постоянна]]
 
:<math> Z(N,V, T) = \sum_{s} e^{- E_s/k_BT}=\operatorname{tr}\exp{(-\beta \hat{H})}</math>
 
където <math>p_i</math> и <math>x_i</math> са триизмерни вектори съответстващи на [[Импулс (механика)|импулс]]а и позицията на частица ''i'', ''h'' е константата на Планк, ''H'' e класическият оператор на Хамилтон, а [[интеграл]]ът покрива цялото [[фазово пространство]] на системата. Гибсовият фактор ''N!'' е нужен, поради неразличимостта на частиците. Изключването му от израза би довело до [[Парадокс на Гибс|парадокса на Гибс]].
 
=== Връзка с термодинамиката ===
По принцип познаването на статистическата сума позволява да бъдат изчислени всички термодинамични функции на системата. [[Ентропия]]та може да бъде изчислена от вероятностите ''p''<sub>s</sub>:
:<math>S=-k_B\sum_s p_s \ln {p_s}=k_B(\ln Z(N,V, T) + \beta U)</math>
 
където ''&beta;=1/k<sub>B</sub>T'' e обратната температура, a ''U'' е вътрешната енергия на системата:
 
:<math> U= \sum_s p_s E_s </math>
:<math>F=U-TS=-\frac{1}{\beta}\ln{Z(N,V, T)}</math>
 
Това е фундаментална формула за термодинамичните приложения на [[каноничен ансамбъл|разпределението на Гибс]].
 
== Статистическа сума в големия каноничен ансамбъл ==
'''Голямата статистическата сума е'''
 
:<math>Z_g(\mu, V, T) = \sum_s e^{-\beta(E_s - \mu N_s)}.</math>
 
=== Връзка с термодинамиката ===
 
Ентропията е:
:<math>S=-k_B\sum_s p_s \ln {p_s}=k_B(\ln Z_g + \beta U- \beta \mu N)</math>
:<math>\Omega(\mu, V, T) = U-TS-\mu N= - \frac {1}{\beta}\ln Z_g(\mu, V, T)</math>
 
== Бележки ==
<references/>