Функция на Грийн: Разлика между версии

В [[математика]]та, '''функция на Грийн''' (по името на [[Джордж Грийн]] (1793- – 1841), английски [[математик]]) е функция, която се използва за решаване на нехомогенни [[диференциално уравнение|диференциални уравнения]] при определени (зададени) гранични условия. Функцията се използва за преобразуване на частното диференциално уравнение в интегрално уравнение. Тя се получава от линейна задача с гранични стойности и представлява основната връзка между диференциалната и интегрална формулировки. Функцията се използва във физиката и по-специално в [[квантова механика|квантовата]] теория на полето, както и в електротехниката за задачи свързани с [[електромагнитно поле|електромагнитното поле]].

Функцията на Грийн осигурява метод за преформулиране на израза за източник (нехомогенността) <math>g</math> от диференциалното уравнение:

където <math>L</math> е линеен (диференциален) оператор - – например <math>\nabla^2</math>, а <math>\Phi(x) </math> е неизвестната функция (величина). Например ако е дадена [[задача на Дирихле|задачата на Дирихле]]:

където <math>\mathbf{r}</math> и <math>\mathbf{r'}</math> са векторите на местоположението на точките на търсената величина (x,y,z) и съответно на източника (x',y',z'), a <math>\delta(\mathbf{r},\mathbf{r'})</math> е [[функция на Дирак|делта функцията на Дирак]] (импулсна функция), която изчезва (приема стойност нула) при <math>\mathbf{r}\ne\mathbf{r'}</math> и удовлетворява равенството:

| Решение || <math>\nabla^2G=\delta(\mathbf{r},\mathbf{r'})</math>|| <math>\nabla^2G +k^2G=\delta(\mathbf{r},\mathbf{r'})</math> ||<math>\nabla^2G-k^2G=\delta(\mathbf{r},\mathbf{r'})</math>

|-

|-

| Тримерна ||<math>-\frac{1}{4\pi(\mathbf{r}-\mathbf{r'})}</math>|| <math>-\frac{exp(jk|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|)}{4\pi(\mathbf{r}-\mathbf{r'})}</math>|| <math>-\frac{exp(-k|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|)}{4\pi(\mathbf{r}-\mathbf{r'})}</math>