Трансцендентно число: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м Премахване на Категория:Реални числа; Добавяне на Категория:Трансцендентни числа, ползвайки HotCat |
Редакция без резюме |
||
Ред 1:
[[Файл:PI constant.svg|мини|[[Пи]] (π) е най-известното трансцендентно число.]]
'''Трансцендентно число''' е число, което не може да се получи като решение на уравнение, изградено от многочлен с рационални коефициенти и неравно на нула. Най-известните примери за трансцендентни числа са константата [[пи]] () и [[неперово число|неперовото число]]. Въпреки че са известни само няколко случая на трансцендентни числа (отчасти, защото е много трудно да се докаже, че дадено число е трансцендентно), те съвсем не са редки. Всъщност, почти всички [[Реално число|реални]] и [[Комплексно число|комплексни]] числа са трансцендентни, тъй като алгебричните числа са [[Изброимо множество|изброими]], докато редиците от реални и комплексни числа са [[Неизброимо множество|неизброими]]. Всички реални трансцендентни числа са [[Ирационално число|ирационални]], тъй като всички рационални числа са алгебрични. Обраното не е вярно: не всички ирационални числа са трансцендентни; например квадратният корен от 2 е ирационален, но не трансцендентен, тъй като е решение на многочленното уравнение {{math|''x''<sup>2</sup> − 2 {{=}} 0}}. Друго ирационално число, което не е трансцендентно е [[златно сечение|златното сечение]], <math>\varphi</math> или <math>\phi</math>, защото е решение на многочленното уравнение {{math|''x''<sup>2</sup> − ''x'' − 1 {{=}} 0}}.
== Свойства ==
* [[Множество]]то на трансцендентните числа е [[Континуум (математика)|континуално]].
* Всяко трансцендентно реално число е [[Ирационално число|ирационално]], но обратното не е вярно.
* Редът на множеството на трансцендентните реални числа е [[Изоморфизъм|изоморфен]] на реда на множеството на ирационалните числа.
* Мярката на ирационалност на почти всяко трансцендентно число е равна на 2.
== Примери ==
* Числото [[Пи|<math>\pi</math>]].
* Числото [[Неперово число|<math>e</math>]].
* [[Десетичен логаритъм|Десетичният логаритъм]] на кое да е цяло число, освен числата от вида <math>10^n</math>.<ref>''Гельфонд А. О.'', Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.</ref>
* <math>\sin a</math>, <math>\cos a</math> и <math>\mathrm{tg}\,a</math> за кое да е ненулево [[алгебрично число]] <math>a</math>.
== История ==
Името „трансцендентно“ идва от латинското ''transcendĕre'' – „изкачвам, прехвърлям“<ref>''Oxford English Dictionary'', [http://www.oed.com/view/Entry/204606 ''s.v.'']</ref> и е използвано за пръв път в математиката от [[Готфрид Лайбниц|Лайбниц]] през 1682 г. в негов труд, където доказва, че {{math|sin(''x'')}} не е [[алгебрична функция]] на {{mvar|x}}.<ref>{{cite book|title=Leibnizens mathematische Schriften|authors=Gottfried Wilhelm Leibniz, Karl Immanuel Gerhardt, Georg Heinrich Pertz|publisher=A. Asher & Co.|year=1858|volume=5|pages=97 – 98}}[https://books.google.com/books?id=ugA3AAAAMAAJ&pg=PA97]</ref><ref>{{cite book|title=Elements of the History of Mathematics|author=Nicolás Bourbaki|publisher=Springer|year=1994|page=74}}</ref> [[Ойлер]] е може би първият човек, който определя трансцендентните числа в съвременния им смисъл.<ref>{{cite journal|doi=10.2307/2690369|title=Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler|journal=Mathematics Magazine|volume=76|issue=5|date=декември 1943|pages=292 – 299|jstor=2690369|last2=Dudley|first2=Underwood|author1=Paul Erdős|authorlink1=Paul Erdős}}</ref>
[[Йохан Ламберт]] предполага, че [[Неперово число|{{mvar|e}}]] и [[Пи|{{math|π}}]] са трансцендентни числа в своя труд от 1768 г., доказващ, че числото {{math|π}} е ирационално, и предлага пробна скица за доказателство на трансцендентността на {{math|π}}.<ref>{{cite journal|last = Lambert|first = Johann Heinrich|authorlink = Johann Heinrich Lambert|year = 1768|title = Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques|journal = Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin|pages = 265 – 322}}</ref>
[[Жозеф Лиувил]] е първият, доказал съществуването на трансцендентни числа през 1844 г.,<ref>{{cite journal|title=On Transcendental Numbers|author=Aubrey J. Kempner|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=17|issue=4|date=October 1916|pages=476 – 482|doi=10.2307/1988833|publisher=American Mathematical Society|jstor=1988833}}</ref> а през 1851 г. дава първите десетични примери като [[число на Лиувил|числото на Лиувил]]:
:<math>\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0.1100010000000000000000010000\ldots</math>
в което {{mvar|n}}-тата цифра след десетичната запетая е {{math|1}}, ако {{mvar|n}} е равно на {{math|''k''!}} ({{mvar|k}} [[факториел]]) за някои {{mvar|k}} и {{math|0}} в противния случай.<ref>[http://mathworld.wolfram.com/LiouvillesConstant.html Weisstein, Eric W. „Liouville's Constant“, MathWorld]</ref> С други думи, {{mvar|n}}-тата цифра на това число е 1 само ако {{mvar|n}} е едно от числата {{math|1=1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24}} и т.н. Лиувил показва, че това число е именно това, което днес наричаме [[число на Лиувил]]. В основата си това означава, че то може да бъде приближено по-близко чрез рационални числа, отколкото с кое да е ирационално алгебрично число. Лиувил доказва, че всички числа на Лиувил са трансцендентни.<ref>{{cite journal|title=Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques|author=J. Liouville|journal=J. Math. Pures et Appl.|volume=16|year=1851|pages=133 – 142|url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1851_1_16_A5_0.pdf}}</ref>
Първото число, което е доказано, че е трансцендентно, без да бъде специално построено за целта, е {{mvar|e}} от [[Шарл Ермит]] през 1873 г.
През 1874 г. [[Георг Кантор]] доказва, че алгебричните числа са изброими, а реалните числа на неизброими. Той, също така, дава нов метод за построяване на трансцендентни числа.<ref>{{cite journal|title=Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen|author=Georg Cantor|journal=J. Reine Angew. Math.|volume=77|year=1874|pages=258 – 262|url=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583}}</ref><ref>{{cite journal|author=Gray, Robert|title=Georg Cantor and transcendental numbers|journal=Amer. Math. Monthly|volume=101|year=1994|pages=819 – 832|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/georg-cantor-and-transcendental-numbers|doi=10.2307/2975129}}</ref> През 1878 г. Кантор публикува конструкция, която доказва, че има толкова трансцендентни числа, колкото и реални числа.<ref>{{cite journal|title=Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre|author=Georg Cantor|journal=J. Reine Angew. Math.|volume=84|year=1878|pages=242 – 258|page=254|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0084&DMDID=dmdlog15}}</ref> Неговия труд установява вездесъщността на трансцендентните числа.
През 1882 г. [[Фердинанд фон Линдеман]] публикува доказателство, че числото {{mvar|π}} е трансцендентно. Първоначално показва, че {{math|''e''<sup>''a''</sup>}} е трансцендентно, когато {{mvar|a}} е алгебрично и ненулево. Тогава, тъй като {{math|''e''<sup>''i''π</sup> {{=}} −1}} е алгебрично, {{math|''i''π}} и следователно (вж. [[равенство на Ойлер]]) {{mvar|π}} трябва да е трансцендентно. Този подход е обобщен от [[Карл Вайерщрас]] в [[теорема на Линдеман-Вайерщрас|теоремата на Линдеман-Вайерщрас]]. Трансцендността на {{mvar|π}} позволява доказателството на невъзможността на няколко древни геометрични построения, сред които [[построения с линийка и пергел]], включващи известната [[квадратура на кръга]].
През 1900 г. [[Давид Хилберт]] поставя влиятелен въпрос относно трансцендентните числа: Ако {{mvar|a}} е алгебрично число, което не е нула или единица, а {{mvar|b}} е ирационално алгебрично число, то задължително ли е {{math|''a''<sup>''b''</sup>}} да е трансцендентно? Потвърдителният отговор е предоставен през 1934 г. от [[теорема на Гелфон-Шнайдер|теоремата на Гелфон-Шнайдер]]. Трудът е разширен от [[Алан Бейкър (математик)|Алан Бейкър]] през 1960-те години.<ref>J J O'Connor and E F Robertson: [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Baker_Alan.html Alan Baker]. The MacTutor History of Mathematics archive 1998.</ref>
== Източници ==
<references/>
{{нормативен контрол}}
[[Категория:Трансцендентни числа]]
| |||