Теорема на Стюарт: Разлика между версии
Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
м {{Математика-мъниче}} |
Редакция без резюме |
||
Ред 2:
{{дефиниция|
Нека е даден [[триъгълник]] ''ABC'' със страни <math>AB = c,\ BC = a,\ CA = b</math> и точка ''D'', лежаща на страната ''BC''. Ако <math>AD = d,\ BD = m
* <math>a(d^2 + mn) = mb^2 + nc^2</math>, ако т. ''D'' лежи между точките ''B'' и ''C''
* <math>a(d^2 - mn) = mb^2 - nc^2</math>, ако т. ''D'' лежи отвъд т. ''C''
Ред 8:
}}
Теоремата се доказва с помощта на [[косинусова теорема|косинусовата теорема]].
[[image:Teorema_stw.gif|thumb|left|200px|Точка D лежи върху страната BC.]]
За точка D, лежаща на отсечката AC:
Нека <math>\angle BDA=\phi</math>
От [[косинусова теорема]] в триъгълниците BDA и CDA получаваме
<math>AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2.BD.AD.cos\, \phi</math>
<math>CA^2 = AD^2 + CD^2 - 2.CD.AD.cos(180-\, \phi)</math>
От тук и дефиницията за косинус следва <math>cos(180-\, \phi)= - cos\, \phi</math>
<math>AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2.BD.AD.cos\, \phi</math>
<math>CA^2 = AD^2 + CD^2 + 2.CD.AD.cos\, \phi</math>
Умножаваме двете страни на първото и второто съответно с CD и BD и събираме почленно.
<math>AB^2.CD = AD^2.CD + BD^2.CD - 2.CD.BD.AD.cos\, \phi</math>
<math>CA^2.BD = AD^2.BD + CD^2.BD + 2.CD.BD.AD.cos\, \phi</math>
<math>AB^2.CD + CA^2.BD =AD^2.BD + CD^2.BD + AD^2.CD + BD^2.CD, \, </math>
Окончателно:
<math>AB^2.CD + CA^2.BD =AD^2.BD + AD^2.CD + CD.BD(CD+ BD) \, </math>
{{Математика-мъниче}}
| |||