Апроксимация: Разлика между версии

Изтрито е съдържание Добавено е съдържание
Addbot (беседа | приноси)
м Робот: Преместване на 27 междуезикови препратки към Уикиданни, в d:q216667.
Ред 5:
==Апроксимиране на реалните числа с рационални==
''Теорема 1. Нека <math>x</math> е реално число, а <math>n</math> - естествено. Тогава съществуват естествени числа <math>p</math> и <math>q</math>, за които <math>1 \le q \le n</math> и <math>(1):</math>
:<math>\left|x-\frac{p}{q}\right|\le\frac{1}{nq}</math>.''
За произволно реално <math>y</math> да означим с <math>[y]</math> най-голямото измежду целите числа, <math>m \le y</math>. Така например <math>\left[ \frac{5}{2}\right]=2</math>, <math>\left[ -\frac{5}{2}\right]=-3</math>. От това определение става ясно, че <math>[y]</math> е цяло число и че <math>0\le y-[y]<1</math>.
Да разгледаме числата <math>kx-[kx], (k=0,1,2...,n)</math>. Те са <math>n+1</math> на брой и лежат в интервала <math>[0,1]</math>. Разделяме последния интервал на <math>n</math> равни подинтервала <math>\Delta_1, \Delta_2,...,\Delta_n,</math> всеки от които има дължина <math>\frac{1}{n}</math>. От принципа на Дирихле следва, че съществуват две различни <math>k</math> и <math>l</math> между <math>0</math> и <math>n</math>, за които числата <math>kx-[kx]</math> и <math>lx-[lx]</math> принадлежат на един и същи интервал <math>\Delta_\nu</math>. Следователно разстоянието между тях няма да надминава <math>\frac{1}{n}</math>, т.е.
Ред 14:
 
''Теорема 2. За всяко реално число <math>x</math> съществуват безбройно много естествени числа <math>q</math>, за всяко от които съществува цяло число <math>p,</math> за което е в сила неравенството
:<math>\left|x-\frac{p}{q}\right|\le\frac{1}{q^2}.\cdot</math>'' <ref>Принцип на Дирихле, Иван Проданов, Издателство "Народна просвета", София, 1975 г.</ref>
 
== Източници ==