Теорема на Ньотер: Разлика между версии

== Лагранжев формализъм ==

=== Теорема на Еми Ньотер в теория на полето ===

Ако съществува множество от непрекъснати трансформации на координатите <math> \mathrm{x^\mu} </math> в пространството на Минковски <math> \mathcal{M} </math> и на полевите функции <math> \mathrm u^{k} (x) </math>, зависещи от <math> r </math> параметъра <math> \mathrm \omega^{a} (a = 1, \cdots , r) </math>, и които при <math> \mathrm \omega^a = 0 </math> се свеждат до единичната (тъждествена) трансформация и нека също така в околност на <math> \mathrm \omega^a = 0 </math> тези трансформации имат вида <ref>{{cite journal|doi= |first=Венцеслав |last=Ризов |title=Квантова теория на полето |journal=Лекционен курс в СУ "Св. Климент Охридски" |volume= |page=6 |date=2005}}</ref>:

 

<math>

\end{matrix}

</math>

 

Нека още производните на действието <math> \mathrm S[u^{\prime k}] </math> удовлетворяват за всяка област <math> V \subset M

</math> условието

 

<math>

\frac{\partial}{\partial \omega^a} \int_{V^1} \mathcal{L} \bigg( u^{\prime k}, \frac{\partial u^{\prime k}}{\partial x^{\prime \lambda}} \bigg) \mathrm{d^4} x^{\prime} = 0

</math>

 

където <math> a=1, 2, \cdots, r </math>, <math> V\prime </math> е трансформираната област <math> V </math> при смяна на координатите, а функциите <math> u^k (x) </math> са решения на уравненията на Лагранж-Ойлер

 

<math> \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial u^k} = \partial_{\mu}

 

1) <math> r </math> на брой векторно-значни функции на <math> u^k </math>, <math> \mathrm{\Theta}^{\mu}_{a}(x)</math>, удовлетворяващи т. нар. условие за запазване:

 

<math> \partial_{\mu} \mathrm{\Theta}^{\mu}_{a}(x) = 0</math>, <math> a=1, 2, \cdots, r </math>;

 

2) <math> r </math> на брой величини:

 

<math> Q_{a} =\int_{S} \mathrm{\Theta}^{\mu}_{a}(x) \mathrm{d}\sigma_{\mu}(x) </math>,

 

чиято стойност не зависи от избора на пространствено-подобната повърхност <math> S </math>, ако <math> u^k (x) \to 0 </math>, <math> \partial_{\lambda} u^k (x) \to 0 </math> при <math> |x^{\mu}| \to \infty </math>.